Matemática, perguntado por marioapscandolera, 5 meses atrás

Seja f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 1 menos 2 x ao quadrado fim da raiz fim da fração vírgula x pertence abre colchetes menos numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração vírgula numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 2 fim da fração fecha colchetes. Determine a integral indefinida de f parêntese esquerdo x parêntese direito.

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por ComandoAlfa

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre Técnicas de Integração, concluímos que a integral indefinida da função dada está corretamente descrita na alternativa a

♦︎ Desejamos calcular a seguinte integral indefinida:

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-2x^{2}}} dx$

♦︎ Há uma integral tabelada que é

$\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} -u^{2}}} du=\arcsin\left(\frac{u}{a}\right)+c$

➜ Na sua questão, note que $a=1$ , $2x^2=u^2$ , i.e., $x\sqrt2=u$ , e $du=dx\sqrt2$ .

➜ Substituindo na nossa integral:

$\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} -2x^{2}}} dx=\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{du}{\sqrt{2}}$

➜ Usando a propriedade $\displaystyle \int kf( x) dx=k\int f( x) dx$ ,

$\begin{array}{l}\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{du}{\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} du\\\\\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin\left(u\right) +c\end{array}$

➜ Devolvendo a substituição,

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin( u) +c=\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin\left( x\sqrt{2}\right) +c$

∴ Se $\displaystyle f( x) =\frac{1}{\sqrt{1-2x^{2}}}$ , então $\displaystyle \int f( x) dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin\left( x\sqrt{2}\right) +c$ , o que consta na alternativa a___✍️