Question

Seja f parêntese esquerdo x parêntese direito igual a numerador sin aplicação de função invisível parêntese esquerdo x parêntese direito sobre denominador raiz quadrada de 2 menos cos aplicação de função invisível parêntese esquerdo x parêntese direito fim da raiz fim da fração Determine a integral indefinida de f parêntese esquerdo x parêntese direito.

Answer 1

⇒     Aplicando nossos conhecimentos sobre Técnicas de Integração, concluímos que a integral indefinida da função dada está corretamente descrita na alternativa a

Vamos a técnica da substituição de variável. Aqui seja  $u=2-\cos x$ , então  $du/dx=\sin x$  ou  $dx=du/\sin x$ . Subsituindo na integral:

$\begin{array}{l}\displaystyle\int \frac{\sin x}{\sqrt{2-\cos x}} dx=\int \frac{\cancel{\sin x}}{\sqrt{u}}\frac{du}{\cancel{\sin x}}\\\\\displaystyle=\int \frac{1}{\sqrt{u}} du\end{array}$

➜     Usando as propriedades  $1/a=a^{-1}$  e  $\sqrt[n]{a^{m}} =a^{m/n}$  ,

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{u}} du=\int u^{-1/2} du$

➜     Sabendo que  $\displaystyle \int ax^{n} dx=a\frac{x^{n+1}}{n+1} +c,\ n\neq -1$ ,

$\displaystyle \int u^{-1/2} du=\frac{u^{1/2}}{1/2} +c=2\sqrt{u} +c$

➜     Por fim, devolvendo a substituição:

$2\sqrt{u} +c=2\sqrt{2-\cos x}+c$

∴     Se  $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{2-\cos x}}$ , então  $\int f(x)dx=2\sqrt{2-\cos x}+c$   ✍️

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