Question

Seja f: IR→ R derivável até a 2ª ordem e tal que, para todo x, f"(x) + 4f(x) = 0. Mostre que, para todo x, d/dx [f'(x) · sen 2x - 2 cos 2x · f(x)] = 0

Answer 1

Para resolver esta questão, vamos usar propriedades das derivadas. Veja:

$\Large\begin{aligned}&\dfrac{d}{dx}[f'(x)\cdot\text{sen}(2x)-2\cdot\cos(2x)\cdot f(x)]=\\\\&=\dfrac{d}{dx}[f'(x)\cdot\text{sen}(2x)]-\dfrac{d}{dx}[2\cdot\cos(2x)\cdot f(x)]\\\\&=f''(x)\cdot\text{sen}(2x)+\cancel{2f'(x)\cdot\cos(2x)}\\\\&\qquad-4\cdot\text{sen}(2x)\cdot f(x)-\cancel{2\cos(2x)f'(x)}\\\\&=f''(x)\cdot\text{sen}(2x)-4\cdot\text{sen}(2x)\cdot f(x)\\\\&=\text{sen}(2x)[f''(x)-4\cdot f(x)]\\\\&=\text{sen}(2x)\cdot0\\\\&=0.\qquad\square\end{aligned}$

Portanto, $\dfrac{d}{dx}[f'(x)\cdot\text{sen}(2x)-2\cos(2x)\cdot f(x)]=0$ como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado!

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