Question

Seja f: IR→ IR uma função tal que f(x) =-x²-12x+6, determine:
a) as coordenadas do vértice
b) o conjunto imagem da função

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Renata, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Dada a função f(x) = - x² - 12x + 6, pede-se para determinar:

a) As coordenadas do vértice.

Veja que a função dada [f(x) = -x² - 12x + 6] tem o termo "a" negativo (o termo "a" em equações do 2º grau é o coeficiente de x²]. E, assim, o gráfico (parábola) dessa função terá a concavidade voltada pra baixo e, como tal, terá um ponto de máximo. Note que os coeficientes da equação da sua questão são estes: a = -1 ----------- (é o coeficiente de x²); b = - 12 --------- (é o coeficiente de x); c = 6 -------- (é o coeficiente do termo independente).

Agora vamos encontrar as coordenadas do vértice (xv; yv), que são dadas pelas suas fórmulas próprias:

xv = -b/2a ----- substituindo-se "b" por "-12" e "a" por "-1", teremos:

xv = -(-12)/2*(-1) ---> xv = 12/-2 ---> xv = - 6 <--- Este é o "x" do vértice.

e

yv = - (b²-4ac)/4a ---- substituindo-se "b" por "-12", "a' por "-1" e "c" por "6", teremos:

yv = - ((-12)² - 4*(-1)*6)/4*(-1)

yv = - (144 + 24)/-4

yv = - (168)/-4 ---> yv = 168/4 ---> yv = 42 <--- Este é o "y" do vértice.

Assim, resumindo, temos que o ponto que dá as coordenadas do vértice (xv; yv) será este:

(-6; 42) <--- Esta é a resposta para o item "a".

b) Determine o conjunto-imagem da função.

Veja que o conjunto-imagem de uma equação do 2º grau sempre será dado pelo "y" do vértice. Se o gráfico tiver um ponto de mínimo, então o conjunto-imagem será: f(x) ≥ yv; e se o gráfico tiver um ponto de máximo, então o conjunto-imagem será: f(x) ≤ yv.

No caso da sua questão, como o seu gráfico (parábola) tem a concavidade voltada pra baixo, então ele tem um ponto de máximo. E, considerando que o "y" do vértice (yv) é igual a "42" (conforme calculamos antes), então o conjunto-imagem será este:

f(x) ≤ 42 ----- Esta é a resposta para o item "b".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.