Question

Seja f dada por $f(x)=x^{3}$.

a) Mostre que f é inversível e determine sua inversa g

b) Esboce os gráficos de f e de g

Answer 1

a)

Para que a função f seja inversível, é suficiente que ela seja estritamente crescente ou estritamente decrescente em seu domínio. Em outras palavras, se f for uma função bijetora, então f é inversível.

f(x) = x³ é uma função estritamente crescente em R, portanto é uma função inversível.

Para encontrar a inversa g de f, isolamos x em f:

f(x) = x³

∛f(x) = x

E trocamos a variável x por g(x) e f(x) por x:

∛x = g(x)

Portanto, função inversa de f(x) = x³ é g(x) = ∛x

b)

Como f é um polinômio de grau 3, sua curva terá mais ou menos um formato de "S". Além disso, essa curva passará pela origem, pois f(0) = 0.

O gráfico de g será simétrico ao gráfico de f, sendo a reta y = x o eixo de simetria. Essa é uma propriedade das funções inversas.