Seja f a função real definida por f(x) = 3x2 - 10x + 7. Sobre f, analise cada um dos seguintes itens.
I. A função f tem duas raízes reais e diferentes.
II. Dado f(a) = 7 então a soma dos valores de "a" é 10/3.
III. A derivada de f no ponto P(3, 4) é 8.
IV. A equação da reta tangente a f no ponto x = 2 é y = 2x + 3.
É correto o que se afirma em:
Alternativas
Alternativa 1:
II e III apenas.
Alternativa 2:
III e IV apenas.
Alternativa 3:
I, II e III apenas.
Alternativa 4:
I, III e IV apenas.
Alternativa 5:
I, II, III e IV.
Soluções para a tarefa
É correto o que se afirma em Alternativa 3: I, II e III apenas.
Vamos analisar cada afirmativa.
I. Sendo f(x) = 3x² - 10x + 7 uma função do segundo grau, para sabermos a quantidade de raízes, temos que calcular o valor de delta.
Dito isso:
Δ = (-10)² - 4.3.7
Δ = 100 - 84
Δ = 16.
Como Δ > 0, então a função possui duas raízes reais distintas.
A afirmativa está correta.
II. Sendo f(a) = 7, obtemos:
3a² - 10a + 7 = 7
3a² - 10a = 0.
Colocando a em evidência:
a(3a - 10) = 0
a = 0 ou 3a - 10 = 0.
De 3a - 10 = 0, obtemos que a = 10/3.
Logo, 0 + 10/3 = 10/3.
A afirmativa está correta.
III. Derivando a função f, obtemos:
f'(x) = 6x - 10.
Sendo x = 3, obtemos:
f'(3) = 6.3 - 10
f'(3) = 18 - 10
f'(3) = 8.
A afirmativa está correta.
IV. A equação da reta tangente é igual a y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀).
Se x₀ = 2, então y₀ = f(2) = 3.2² - 10.2 + 7 = -1.
Além disso, temos que f'(2) = 6.2 - 10 = 2.
Portanto, a equação da reta tangente é:
y + 1 = 2(x - 2)
y + 1 = 2x - 4
y = 2x - 5.
A afirmativa está errada.
F(x) = 2/ x-3.
I. Temos f’(2) = f’(4)
II. f’(x) > 0 para todo valor de x.
III. f’(x) é uma parábola.
IV. f’(x) > f(x) para qualquer x em seu domínio.