Question

Seja f a função definida por f(x)=x3+2x2+1. Encontre os valores de c entre 0 e 3 tal que a tangente ao gráfico de f no ponto (c,f(c)) seja paralela à secante entre os dois pontos (0,f(0)) e (3,f(3)).

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Answer 1

Resposta:

Letra B.

Explicação passo a passo:

A reta secante passa pelos pontos (0, f(0)) e (3, f(3)). Calculemos f(0) e f(3):

$f(0) = 0^3 + 2\,.\,0^2 + 1 = 1;\\\\f(3) = 3^3 + 2\,.\,3^2 + 1 = 46.$

Determinemos a equação da reta secante:

$y = \frac{46-1}{3}x + 1\\\\\boxed{y = 15x + 1.}$

Qualquer reta paralela à reta secante definida pela equação $y = 15x + 1$ tem seu mesmo coeficiente angular, a saber, $a = 15.$ Assim, devemos encontrar as tangentes a $f$ que satisfazem a este critério.

Ora, sabemos que a inclinação de uma reta tangente a uma curva é a derivada da curva naquele ponto. Derivemos $f$:

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3+2x^2+1) = 3x^2 + 4x.$

Igualando a derivada a 15, temos:

$3x^2 +4x = 15\\\\3x^2 + 4x - 15 = 0\\\\3(x - \frac{5}{3})(x + 3) = 0.$

As soluções da equação acima são $x_1 = \frac{5}{3}$ e $x_2 = -3.$ Perceba que $x_2$ não convém, pois estamos interessados apenas em valores entre 0 e 3.

Portanto,

$\boxed{c = \frac{5}{3}}$

Calculemos a equação da reta tangente neste ponto:

$y = 15x + b\\\\f(\frac{5}{3}) = 15(\frac{5}{3}) + b \\\\b = -\frac{373}{27}$

⇒   $\boxed{y = 15x - \frac{373}{27}.}$

Esta é, portanto, a única reta tangente a $f$, no intervalo $[0, 3]$, que é paralela à reta secante $y = 15x + 1.$