Question

Seja f a função definida por f(x)= raiz²x. encontre a derivada de f em relação a x usando a definição. Faça o mesmo aplicando algum teorema sobre derivação de funções algébricas​

Answer 1

Definição:

$f(x) = \sqrt{x}$

$f'(x) = \displaystyle\lim_{x' \to x} \dfrac{f(x)-f(x')}{x-x'}$

$f'(x) = \displaystyle\lim_{x' \to x} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x'}}{x-x'}$

$f'(x) = \displaystyle\lim_{x' \to x} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x'}}{x-x'} \cdot\left(\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{x'}}{\sqrt{x}+\sqrt{x'}}\right)$

$f'(x) = \displaystyle\lim_{x' \to x} \dfrac{\sqrt{x}^2-\sqrt{x'}^2}{(x-x')\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{x'})}$

$f'(x) = \displaystyle\lim_{x' \to x} \dfrac{x-x'}{(x-x')\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{x'})}$

$f'(x) = \displaystyle\lim_{x' \to x} \dfrac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{x'})}$

$\boxed{f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}$

Lei da potência:

$f(x) = a\cdot x^n \implies f'(x) = an\cdot x ^{n-1}$

Aplicando:

$f(x) = \sqrt{x}$

$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) = \dfrac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1}$

$f'(x) = \dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$

$\boxed{f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}}$

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