Question

Seja f:[ -a,a]→R integrável.Se f é uma função par,prove que $\int\limits^a_a {(f(x))} \, dx = 2 \int\limits^a_0 {(f(x))} \, dx$

Obs. integral de (-a) a (a)

Answer 1

Começamos por dividir o integral em dois:

$\displaystyle\int\limits_{-a}^a f(x) \textrm{ d}x = \int\limits_{-a}^0 f(x) \textrm{ d}x + \int\limits_0^a f(x) \textrm{ d}x.$

Podemos agora inverter os limites de integração no 1.º integral:

$\displaystyle\int\limits_{-a}^0 f(x) \textrm{ d}x + \int\limits_0^a f(x) \textrm{ d}x = -\int\limits_0^{-a} f(x) \textrm{ d}x + \int\limits_0^a f(x) \textrm{ d}x.$

Fazemos agora a mudança de variável $y = -x \implies \textrm{ d}y = -\textrm{ d}x$ no 1.º integral:

$\displaystyle\int\limits_0^{a} f(-y) \textrm{ d}y + \int\limits_0^a f(x) \textrm{ d}x.$

Como as variáveis de integração são mudas, podemos fazer a subsituição $y\to x$ no 1.º integral:

$\displaystyle\int\limits_0^{a} f(-x) \textrm{ d}x + \int\limits_0^a f(x) \textrm{ d}x.$

Uma vez que $f$ é par, tem-se:

$f(-x) = f(x),$

pelo que vem finalmente:

$\displaystyle\int\limits_0^{a} f(x) \textrm{ d}x + \int\limits_0^a f(x) \textrm{ d}x = 2\int\limits_0^a f(x) \textrm{ d}x,$

como queríamos provar.