Question

Seja f : [−3, 0] →[0, 3] definida por f(x) = $\sqrt{9 - x^{2} }$. Determine fórmula explícita da função inversa da função f.

Answer 1

Seja $f: [-3, 0] \to [0, 3]$ a função dada por $f(x) = \sqrt{9-x^2}$. Esta função é bijetiva, pelo que é invertível, ou seja, existe uma função inversa $f^{-1}:[0, 3] \to [-3,0]$ tal que $(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = x$.

Começamos por fazer $y \to f(x)$ na fórmula de $f$ e resolvemos para $x$:

$y = \sqrt{9-x^2} \iff y^2 = 9 - x^2 \iff x^2 = 9 - y^2 \iff x = \pm \sqrt{9-y^2}.$

Fazendo agora $x \to f^{-1}(x)$ e $y \to x$, vem:

$f^{-1}(x) = \pm \sqrt{9-x^2}.$

Para escolher qual dos sinais $\pm$ devemos usar, olhamos para o conjunto de chegada de $f^{-1}$ (que corresponde ao domínio de $f$). Assim, queremos que $f^{-1}$ tome valores no intervalo $[-3,0]$. Ora, como $\sqrt{9-x^2} > 0$, teremos de selecionar o sinal $-$ para poder obter valores negativos.

Tem-se por fim:

$f^{-1}(x) = -\sqrt{9-x^2}.$

Na figura em anexo, representou-se o gráfico da função $f$ a vermelho e o gráfico da inversa $f^{-1}$ a azul, bem como a bissetriz dos quadrantes ímpares $y=x$ a verde. Verifica-se então que os gráficos são simétricos relativamente à reta a verde, tal como pretendido.