Question

Seja f: [1,∞] → [-3, ∞] a função definida por f(x)= 3x²-6x. Se g: [-3, ∞]→[1,∞] é a função inversa de f, então [g(6)-g(3)]² é:
a)5
b)2√6
c)5-2√6
d)-5+2√6

Answer 1

Boa tarde Sophia.

Dada a função:

$f(x)=y=3x^{ 2 }-6x$

Antes de mais nada, perceba que o domínio e o contradomínio de uma função se inverte na função inversa.

Vamos achar a inversa, trocando x por y e y por x.

$x=3y^{ 2 }-6y\\ 3y^{ 2 }-6y-x=0\\ \\ y=\frac { 6\pm \sqrt { 36+12x } }{ 6 } \\ \\ y=\frac { 6\pm \sqrt { 4(9+3x) } }{ 6 } \\ \\ y=\frac { 6\pm 2\sqrt { 9+3x } }{ 6 } \\ \\ g(x)=\frac { 3\pm \sqrt { 9+3x } }{ 3 }$

A função inversa g(x) só pode ter um sinal, ou é mais ou é menos. Mas ele deu o domínio e o contradomínio. Para achar o domínio temos que analisar essa raiz.

$C.E:\\ \\ 9+3x\ge 0\\ x\ge -3$

Ok, agora o contradomínio.
Perceba que o que está dentro da raiz é maior ou igual a zero, e analisando o sinal de ''+'', essa raiz só tende a ficar cada vez mais positiva, e ela se inicia quando essa raiz for 0. Então:

3+0/3=1 Ou seja, o contradomínio vai de 1 ao infinito.

Agora analisemos o sinal de ''-'', perceba que o valor só vai diminuindo, já que a raiz deve ser maior ou igual a zero. Então seu contradomínio vai de - infinito ao 1.

E a questão deu o contradomínio, que vai de 1 ao infinito, por isso a função inversa é:

$g(x)=\frac { 3+ \sqrt { 9+3x } }{ 3 }$

Com isso basta achar o g(6) e g(3):

$g(3)=\frac { 3+\sqrt { 9+3*3 } }{ 3 } =1+\sqrt { 2 } \\ \\ g(6)=\frac { 3+\sqrt { 9+3*6 } }{ 3 } =1+\sqrt { 3 }$

Agora a resposta que ele quer:

$[(1+\sqrt { 3 } )-(1+\sqrt { 2 } )]^{ 2 }=(\sqrt { 3 } +\sqrt { 2 } )^{ 2 }=\boxed {5+2\sqrt { 6 } }$

Entendido?