Question

Seja f : [0, +∞) → |R a função dada por



f(x) = $\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x+\sqrt{x+1}}}}}$



com dez raízes quadradas. Calcule f'(0)



Atenção: O enunciado pede para que calcule a derivada de f(x) quando x é igual a 0.


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Por favor, responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Olá Superaks!

Primeiramente, irei enumerar diversas funções nesse formato de acordo com o número de raízes quadradas contidas, seguindo essa lei de recorrência:

$f_0(x)=1\\f_1(x)=\sqrt{x+1}\\f_2(x)=\sqrt{\sqrt{x+1}+x}\\f_3(x)=\sqrt{\sqrt{\sqrt{x+1}+x}+x}\\\\f_n(x)=\sqrt{f_{n-1}(x)+x}$

Com essa lei de recorrência, podemos identificar os valores das funções quando x=0 (Que será necessário posteriormente)

$f_0(0)=1\\f_1(0)=\sqrt{f_0(0)+0}=\sqrt{1+0}=1\\f_2(0)=\sqrt{f_1(0)+0}=\sqrt{1+0}=1\\\\f_n(0)=1$

Concluímos que todas as funções resultam em 1 para x=0.

Agora vamos derivar as funções e encontrar sua lei de recorrência. Essa existe, pois as funções originais possuem.

$f'_0(x)=0\\\\\\f'_1(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\frac{1}{2f_1(x)}\\\\\\f'_2(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sqrt{x+1}+x}}*(\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+1)=\frac{1}{2f_2(x)}*(\frac{1}{2f_1(x)}+1)\\\\\\f'_3(x)=\frac{1}{2\sqrt{\sqrt{\sqrt{x+1}+x}+x}}*(\frac{1}{2\sqrt{\sqrt{x+1}+x}}*(\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+1)+1)\\\\f'_3(x)=\frac{1}{2f_3(x)}*(\frac{1}{2f_2(x)}*(\frac{1}{2f_1(x)}+1)+1)\\\\\\f'_n(x)=\frac{1}{2f_n(x)}*(f'_{n-1}(x)+1)$

Como queremos as derivadas em x=0, então substituiremos as funções $f_n(x)$ por 1 devido a relação anterior $f_n(0)=1$.

$f'_0(0)=0\\\\\\f'_1(0)=\frac{1}{2}\\\\\\f'_2(0)=\frac{1}{2}*(\frac{1}{2}+1)=\frac{3}{4}\\\\\\f'_3(0)=\frac{1}{2}*(\frac{1}{2}*(\frac{1}{2}+1)+1)=\frac{7}{8}\\\\\\f'_n(0)=\frac{1}{2}*(f'_{n-1}(0)+1)$

Essa lei de recorrência nos diz que a nova função é a média aritmética entre a anterior e 1. Vamos organizar melhor os valores acima para encontrarmos a fórmula geral.

$f'_n(0)=0.5+\frac{f'_{n-1}(0)}{2}\\\\f'_0(0)=0\\\\f'_1(0)=0.5+\frac{0}{2}=0.5\\\\f'_2(0)=0.5+\frac{0.5}{2}=\frac{2*0.5+0.5}{2}=\frac{(1+2)*0.5}{2}\\\\f'_3(0)=0.5+\frac{\frac{(1+2)*0.5}{2}}{2}=0.5+\frac{(1+2)*0.5}{2^2}=\frac{(1+2+4)*0.5}{2^2}\\\\f'_n(0)=\frac{\sum_{k=0}^{n-1}2^k*0.5}{2^{n-1}}=\frac{(2^n-1)*0.5}{2^{n-1}}=\frac{2^n-1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}\\\\f'_{10}(0)=1-\frac{1}{1024}\\\\\boxed{f'_{10}(0)=\frac{1023}{1024}}\\\\f'_{10}(0)=0.9990234375$

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