Question

Seja f:[0,2π] → R definida por $f(x) = 2-3.Cos(2.x-\frac{\pi}{3})$. Pergunta-se: f(x) é crescente para que valores de x ?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Como essa é uma função cíclica vamos identificar o período

P=2π/c

P=2π/2

P=180°

F(x)=2-3cos(2x-π/3)

F(π/6)=2-3cos(2*π/6-π/3)

F(π/6)=2-3cos(π/3-π/3)

F(π/6)=2-3cos(0)

F(π/6)=2-3*1

F(π/6)=-1

F(x)=2-3cos(2x-π/3)

F(2π/3)=2-3cos(2*2π/3-π/3)

F(2π/3)=2-3cos(4π/3-π/3)

F(2π/3)=2-3cos(3π/3)

F(2π/3)=2-3cos(π)

F(2π/3)=2-3(-1)

F(2π/3)=5

Deste modo podemos concluír que a função será crescente em

x=(π/6,2π/3) e em seus multiplos

Answer 2

Resposta:

π/6 < x < 2π/3

7π/6 < x < 5π/3

Explicação passo-a-passo:

Uma função é crescente onde sua derivada primeira é positiva.

f(x) = 2 - 3cos(2x - π/3)

f'(x) = 6sen(2x-π/3)

6sen(2x-π/3) > 0

sen(2x-π/3) > 0

0+2kπ < 2x-π/3 ≤ π + 2kπ

0+π/3+2kπ  < 2x-π/3 + π/3 < π + π/3 +2kπ

π/3+2kπ  < 2x < 4π/3 +2kπ

(π/3+2kπ)/2  < 2x/2 < (4π/3 +2kπ)/2

(π/6+kπ)  < x < (2π/3 +kπ)

para k = 0 temos π/6 < x < 2π/3

para k = 1 temos 7π/6 < x < 5π/3

para k = 2 sai do intervalo de [0, 2π).

Observação. Uma função é crescente onde sua derivada primeira é positiva. Por esse motivo que fiz 6sen(2x-π/3) > 0.

Fiz de outra maneira traçando o gráfico. Só que não sei enviar por aqui. Não dá certo.