Question

Seja E = M2x2 o espaço das matrizes quadradas de ordem 2 e o subespaço vetorial
de E dado por U =
= {[a/b a+b/b}: a, b E R}
Assinale a alternativa correta
O a. dim (U) = 1
O b. dim (U) = 2
O c. dim (U) =3
O d. dim (U) = 4
O e dim (U) = 4​

Answer 1

Resposta:

b. dim (U) = 2

Explicação passo-a-passo:

b. dim (U) = 2

Answer 2

A dimensão do subespaço vetorial U é igual a 2, alternativa B

Qual a dimensão de U?

Para calcular a dimensão do subespaço vetorial U devemos encontrar uma base. Ou seja, devemos encontrar um conjunto de vetores geradores que sejam linearmente independentes.

Um vetor qualquer pertencente a U pode ser escrito na forma:

$\begin{pmatrix} a & b \\ a + b & b \end{pmatrix}$

Pela operação de soma de matrizes, temos que:

$\begin{pmatrix} a & 0 \\ a & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b \\ b & b \end{pmatrix}$

Pela operação de multiplicação de uma matriz por um escalar, podemos escrever:

$a* \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + b* \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Como as duas matrizes obtidas não são múltiplas uma da outra, temos que, elas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base do subespaço vetorial U. Nesse caso, podemos afirmar que a dimensão de U é igual a 2.

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