Question

Seja dada a função f(xy)=4x^3y^2-sen(2xy^3) ao determinarmos o valor de sua derivada parcial ordem em X aplicada no ponto P(3,-4), obteremos:
Veja o anexo.

Answer 1

Temos a seguinte função definida em $\mathbb{R}^{2}:$

$f(x,\;y)=4x^{3}y^{2}-\mathrm{sen}(2xy^{3})$


Queremos a derivada parcial de $f$ em relação a $x,$ calculada no ponto $P(3,\;-4).$


Para calcular a derivada parcial em relação a $x,$ tratamos todas as outras variáveis como constantes, e usamos as regras usuais de derivação:

$f_{x}(x,\;y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left[4x^{3}y^{2}-\mathrm{sen}(2xy^{3}) \right ]\\\\\\ =4y^{2}\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{3})-\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left[\mathrm{sen}(2xy^{3}) \right ]\\\\\\ =4y^{2}\cdot 3x^{2}-\cos(2xy^{3})\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy^{3})\\\\\\ =12x^{2}y^{2}-\cos(2xy^{3})\cdot 2y^{3}\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c} f_{x}(x,\;y)=12x^{2}y^{2}-2y^{3}\cos(2xy^{3}) \end{array}}$


Computando o valor da derivada no ponto $(3,\;-4),$ temos

$f_{x}(3,\;-4)=12\cdot 3^{2}\cdot (-4)^{2}-2\cdot (-4)^{3}\cos(2\cdot 3\cdot (-4)^{3})\\\\ =12\cdot 9\cdot 16-2\cdot (-64)\cos(6\cdot (-64))\\\\ =12\cdot 9\cdot 16-2\cdot (-64)\cos(6\cdot (-64))\\\\ =1\,728+128\cos(-384)\\\\ \approx 1\,823,75.$


Resposta: alternativa $\text{C)~~}f_{x}(3,\;-4)\approx 1\,823,75.$