Question

Seja dada a função abaixo, podemos afirmar que d/dx é:
f(x)=$\frac{3\sqrt[3]{x^{2} }}{4} +7x^3$

Answer 1

Resposta:

$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt[3]{x} } + 21 {x}^{2}$

Explicação passo-a-passo:

Obs: eu gosto mais da notação f'(x), então você pode trocar depois para d/dx

Regra do tombamento

Se eu tenho uma função:

f(x) = xⁿ

Sua derivada será:

$f'(x) = n \times {x}^{n - 1}$

observações:

• derivada de uma constante é 0.
• Se eu tenho um polinômio, ou seja, uma função em que temos somas algébricas, a derivada da função será a soma algébrica da derivada de cada termo da minha função.

Problema

Primeiro, antes de derivar, vamos dar uma arrumadinha no problema

Vamos escrever:

$\sqrt[3]{ {x }^{2} } = {x}^{ \frac{2}{3} }$

Isso é uma propriedade de potência.

Substituindo:

$\frac{3 \times {x}^{ \frac{2}{3} } }{4}$

Vamos deixar o denominador apenas em 3:

$\frac{3}{4} \times {x}^{ \frac{2}{3} }$

Agora, vamos escrever nossa função, fazendo essa arrumação:

f(x) = 3/4 × x⅔ + 7x³

Agora, vamos derivar:

f'(x) = (3/4 × x⅔)' + (7x³)'

$f'(x) = \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times {x}^{ \frac{2}{3 } -1} + 7 \times 3 {x}^{3 - 1}$

$f'(x) = \frac{6}{12} \times {x}^{ \frac{2}{3} - \frac{3}{3} } + 21 {x}^{2}$

Note que podemos simplificar 6/12. Simplificando por 6, temos 1/2

$f'(x) = \frac{1}{2} \times {x}^{ \frac{ - 1}{3} } + 21 {x}^{2}$

Expoente negativo, a gente inverte a fração:

$f'(x) = \frac{1}{2} \times { (\frac{1}{ x }) }^{ \frac{1}{3} } + 21 {x}^{2}$

Lembre que x⅓ = ³√x e que 1⅓ = ³√1 = 1

$f'(x) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } + 21 {x}^{2}$

$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt[3]{x} } + 21 {x}^{2}$