Question

seja cos2(x-y) = sen(2x)sen(2y), para tpdo x e y reais, dentro do intervalo (0,pi/2). Com base nessa equação, assinale a opção e apresenta a solução de x+y.

a) pi/2
b) pi/4
c) pi/3
d) pi/6
e) pi/8

Answer 1

Vamos usar o arco dobro do Seno :

$\text{Sen(2.a)}=2.\text{Sen(a)}.\text{Cos(a)}$

E vamos usar o arco soma e o arco subtração do cosseno :

$\text{Cos(a+b)}=\text{Cos(a).Cos(b)}-\text{Sen(a).Sen(b) }$

$\text{Cos(a - b)}=\text{Cos(a).Cos(b)}+\text{Sen(a).Sen(b) }$

Temos a expressão :

$\text{Cos}^2(\text{x - y)} = \text{Sen(2x).Sen(2y) }$

Vamos abrir o arco subtração do cosseno e abrir os arcos dobros do Seno :

$[\text{Cos(x).Cos(y)+Sen(x).Sen(y)}]^2 = 2.\text{Sen(x).Cos(x).2.Sen(y).Cos(y)}$

Vamos fazer as seguintes mudanças de variáveis :

$\text{Cos(x).Cos(y) = a }$

$\text{Sen(x).Sen(y) = b }$

Substituindo :

$(\text{a+b})^2 = \text{4.a.b}$

$\text a^2+\text b^2 + 2.\text{a.b} = 4.\text{a.b}$

$\text a^2 - 2.\text{a.b}+\text b^2 = 0$

$(\text{a - b})^2 = 0$

Desfazendo a troca de variável :

$[\text{Cos(x).Cos(y) - Sen(x).Sen(y) } ]^2=0$

Isso é exatamente o arco soma do cosseno, ou seja :

$\text{Cos}^2(\text{x+y}) = 0$

$\text{Cos(x+y)} = 0$

sabemos que Cos(90º) = 0 , logo :

$\displaystyle \text{Cos(x+y)} = \text{Cos}(\frac{\pi }{2})$

Portanto :

$\huge\boxed{\displaystyle \text{x+y} = \frac{\pi}{2}}\checkmark$

Letra a

Answer 2

A opção que apresenta a solução de x + y será: π/2 - letra a).

Como a Trigonometria funciona?

A trigonometria é a vertente da matemática que estuda os triângulos e mais precisamente as relações existentes entre seus ângulos e lados. A mesma possui três ângulos, sendo: Seno, Cosseno e Tangente.

Então analisando o enunciado, é possível utilizar do Seno, o dobro de seu arco, onde teremos:

• Sen (2.a) = 2 . Sen (a) . Cos (a)

E quando projetamos os arcos da Soma e Subtração de Cosseno, nosso resultado será:

• Cos (a + b) = Cos (a) . Cos (b) - Sen (a) . Sen (b)

• Cos (a - b) = Cos (a) . Cos (b) + Sen (a) . Sen (b)

E isso gera a seguinte expressão, que possibilitará entender o arco subtração do cosseno e os arcos de Seno:

• Cos² ( x - y) = Sen (2x) . Sen (2y)

• [Cos (x) . Cos (y) + Sen (x) . Sen (y)]² = 2 . Sen (x) . Cos (x) . 2 . Sen (y) . Cos (y)

E quando mudarmos as variáveis para substituirmos:

• (a + b)² = 4 . a .b

a² + b² + 2 . a . b = 4 . a . b

a² - 2 . a . b + b² = 0

(a - b)² = 0

Então quando realizarmos a troca favorável, teremos:

[Cos(x) . Cos(y) - Sen(x). Sen(y)]^2 = 0

• Cos² (x + y) = 0

Cos (x + y) = 0

Finalizando sabendo que Cos(90º) = 0, teremos:

• Cos (x + y) = Cos (π/2)

x + y = π / 2.

Para saber mais sobre Trigonometria:

brainly.com.br/tarefa/43354090

#SPJ2