Question

Seja Cmg = 3q² – 16q + 40 a função custo marginal para certo produto, onde "q" significa quantidade. Determine a função custo total, quando for q = 10, sabendo que o custo fixo é igual a 50.

Answer 1

Temos a seguinte função custo marginal:

$\sf C'(x) = 3q {}^{2} - 16q + 40$

A questão quer saber qual a função custo total C(x), sabendo que quando q = 10 o custo fixo é 50. Para encontrar essa tal função vemos lembrar que a integral é o inverso da derivada, então:

$\sf C(x) = \int C'(x)dx$

integrando o custo marginal, temos que:

$\sf C(q) = \int (3q {}^{2} - 16q + 40)dq \: \: \: \: \\ \\ \sf C(q) = \frac{3q {}^{3} }{3} - \frac{16q {}^{2} }{2} + \frac{40q {}^{1} }{1} + k \\ \\ \sf C(q) = q {}^{3} - 8q {}^{2} + 40q + k \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

A questão nos diz que q = 10 e C(q) = 50, então:

$\sf 50 = 10 {}^{3} - 8.10 {}^{2} + 40.10 + k \\ \\ \sf 50 = 1000 - 800 + 400 + k \: \: \: \: \\ \\ \sf 50 = 600 + k \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf k = - 550\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo esse valor na função integrada:

$\sf C(q) = q {}^{3} - 8q {}^{2} + 40q - 550$

Espero ter ajudado

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