Question

seja C uma curva triangular contituida pelos segmentos de reta de (0,0) a (1,0); de (1,0) a (0,1) e de (0,1) a (0,0), orientada nessa ordem. Assinale a alternativa que da o calculo da integral de linha sobre essa curva fechada

Answer 1

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, podemos concluir que o valor da integral de linha nessa curva é igual a 1/6. E para chegar a essa conclusão tivemos que usar o teorema de Green.

• E qual é o teorema de Green?

O teorema de Green é a fórmula:

$\large \boxed{\boxed{\displaystyle \oint _ C P dx +Q dy =\iint _ D \left (\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} \right)dA}}$

E levando em conta a fórmula do teorema de Green passamos a resolver a questão.

O problema menciona que C é uma curva triangular constituída pelos segmentos da reta de (0,0) a (1,0); de (1.0) a (0.1) e de (0.1) a (0.0), orientado nessa ordem. E nos pede para calcular o valor da seguinte integral de linha $\displaystyle L= \oint _ C x ^4 dx + xy dy$

Bem, desde o início você pode ver algo semelhante entre a expressão da fórmula do teorema de Green e nossa integral de linha. Tendo encontrado essa semelhança, podemos concluir que as variáveis P e Q são iguais a:

$P = x^4$

$Q = xy$

Conhecendo o valor dessas variáveis, passamos a encontrar suas derivadas parciais. A derivada parcial de P de acordo com a expressão é igual a:

$\dfrac{\partial P}{\partial y}= x^4$

Vemos que esta expressão quer a derivada parcial em relação a y, vemos que na nossa variável só temos a variável x e não a variável e então podemos julgar x como uma constante nesta derivada parcial, pois é uma constante sua derivada parcial é igual a 0.

$\dfrac{\partial P}{\partial y}= 0$

Agora calculamos a derivada parcial da variável Q.

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}= xy$

Nesta derivada parcial estamos diferenciando em relação a x e temos as variáveis x e y, então podemos descobrir que y é uma constante, já que a constante está multiplicando a variável que estamos derivado, o que faremos é eliminar que constante da seguinte forma:

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}= y \dfrac{\partial}{\partial x} x$

Como x não é elevado a um expoente, podemos dizer que a derivada de x é igual a 1.

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}= y$

• Vamos substituir os valores que acabamos de obter na fórmula do teorema de Green.

‏‏‎‏‏‎$\displaystyle \iint _ D y dy dx$

Ao substituir esses valores na fórmula estamos percebendo que integrar essa função não será tão difícil, tudo o que precisamos é definir a região da curva onde vamos integrar essa função.

Para definir essa integral dupla, teremos que encontrar duas coisas, uma delas é que a integral é do tipo 1, ou seja, é uma integral dupla da parte inferior e da parte superior do nosso triângulo. Fazemos o gráfico do nosso triângulo, para isso você deve procurar esses pontos e juntá-los (imagem em anexo do gráfico do triângulo).

A primeira integral que seria em relação ao eixo x é igual aos limites de 0 a 1, ou seja, os pontos da reta AB do gráfico anexo. A segunda integral é em relação ao eixo y e é igual à equação da reta do lado BC.

• Para calcular a equação da reta usaremos a fórmula:

$\displaystyle y -y _ 1 = m (x - x _ 1)$

Para calcular o valor de m temos que levar em conta esta outra fórmula:

$\displaystyle m=\dfrac{y _ 2 - y _ 1 }{ x _ 2 - x _1}$

Onde os pontos no formato x e y podem ser dados como $(x _ n, y _ n)$, então sabendo disso calculamos o valor de m para obter a equação da reta.

$\displaystyle m=\dfrac{1-0}{ 0-1} \\ \\ \displaystyle m =- 1$

Substituindo os valores que já conhecemos na fórmula para obter a equação da reta, obtemos a equação:

$\displaystyle y -0= -1 (x - 1)\\\\ \displaystyle y = 1-x$

Conhecendo o valor da equação da reta, podemos dizer que a integral dupla da região do triângulo é definida pelos limites:

$\displaystyle \int ^1 _ 0 \int ^{1-x} _ 0 y dy dx$

Para realizar a integral dupla vamos usar o método de Fubini que consiste em apenas integrais ambas as integrais por partes.

$\displaystyle \int ^1 _ 0 \left[\int ^{1-x} _ 0 y dy \right]dx\\ \\ \displaystyle \int ^1 _ 0 \left[\int ^{1-x} _ 0 \dfrac{y ^{1+1}}{1+1} dy \right]dx\\ \\ \displaystyle \int ^1 _ 0 \left[\dfrac{y ^{2}}{2} \right]^{1-x} _0dx$

Avaliamos a primeira integral em seus limites de integração:

$\displaystyle \left[ \dfrac{(x-1) ^{2}}{2} -\dfrac{0^2}{2}\right]dx\\ \\ \displaystyle \int ^1 _ 0 \dfrac{1}{2} (1-x)^2dx$

Retornando nosso binômio ao quadrado obtemos a expressão:

$\displaystyle\dfrac{1}{2} \int ^1 _ 0 x^2dx - \int ^1 _ 0 2x dx+ \int ^1 _ 0 1dx\\ \\ \displaystyle\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{x^3}{3} \right]^1 _0- \not\!\!2\left[ \dfrac{x^2}{\not\!\!2} \right]^1 _0+ \left[x\right]^1 _0 \\ \\ \displaystyle\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} - 1+ 1\\ \\ \displaystyle\dfrac{1}{6} - 1+1\\\\\ \large \boxed{\boxed{L =\dfrac{1}{6}}}$

Então, tendo realizado os cálculos, concluímos que o valor da integral de linha é 1/6.

ヘ( ^o^)ノ＼(^_^ ) Você pode ver mais sobre o tema do teorema de Green em:

• brainly.com.br/tarefa/6914615

Bons estudos =)