Question

Seja C uma curva plana simples, fechada, continua por partes, orientada positivamente, e seja R a região
delimitada por C. Se P e Q tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que
contenha R, então:

Calcular ∫ x
3ydx + x dy C

ao longo do caminho triangular na figura abaixo:

Answer 1

O exercício enuncia o teorema de green, que relaciona a integral de linha de uma função vetorial com uma integral dupla comum.

$\displaystyle\oint_C P\, dx+ Q\,dy = \iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right) \, dA$

Onde D é a área delimitada por C.

No exercício, nosso caminho C é um triângulo com lados (0, 0), (1, 0), (1, 2) e queremos calcular a integral fechada

$\displaystyle\oint_C x^3y\, dx+ x\, dy$

Sabemos que P(x, y) = x³y e Q(x, y) = x, portanto,

$\displaystyle\oint_C x^3y\, dx+ x\,dy = \iint_D 1-x^3 \, dA$

A área D pode ser obtida pelos limites de integração

$\displaystyle \iint_D 1-x^3 \, dA = \int\limits_{0}^1 \int\limits_{0}^{2x} 1-x^3 \, dy\, dx = \int\limits_{0}^1 1-x^3 \int\limits_{0}^{2x} \, dy\, dx = \int\limits_{0}^1 (1-x^3) 2x\, dx$

$=\displaystyle\int\limits_{0}^1 2x-2x^4\, dx = x^2-\dfrac{2}{5}x^5 \Bigg{|}\limits_{0}^1 = \dfrac{3}{5}$