Seja C a circunferencia X²+Y²-6X-4Y+9=0 . Um quadrante cujo lados são paralelos ao eixos cartesiano está inscrito em C. Determine o perímetro desse quadro
Soluções para a tarefa
Olá Vicsz!!
X²+Y²-6X-4Y+9=0
devemos escrever a equação da circunferência na forma reduzida : ( X-a)^2+(Y-b)^2= r^2 com a e b as coordenadas do centro , e r o raio.
devemos forçar dois trinômios quadrados perfeitos:
X² - 6X + Y² - 4Y +9 =0 vou espalhar assim para explicar melhor
X² - 2.3 X + 3² Y² - 2.2Y + 2² =0 + 2² precisaremos somar 2² dos dois lados
agora temos os trinômios quadrados perfeitos e vamos fatorá-los
(X - 3) ² + (Y - 2)² = 2²
Agora podemos identificar o centro ( 3 , 2 ) e o Raio = 2u
Para o perímetro do quadrado inscrito podemos concluir que dois raios equivalem â diagonal do quadrado que é o diâmetro da circunferência.
D=2R >>>>>>>>D = 4u
Então podemos usar a relação :
D² = L²+L²
D² = 2L²
4² = 2L²
16/2 =L²
L² = 8
L = V8
L = 2V2 u
Então o Perímetro será :
P = 4 L
P = 4 . 2V2
P = 8V2 u
veja se ficou claro!!!
O perímetro do quadrado é igual a 8√2.
Primeiramente, vamos calcular o diâmetro da circunferência x² + y² - 6x - 4y + 9 = 0.
Para isso, precisamos completar quadrado:
x² - 6x + 9 + y² - 4y + 4 = -9 + 9 + 4
(x - 3)² + (y - 2)² = 4.
Isso quer dizer que a circunferência está centrada no ponto (3,2) e possui raio igual a 2.
Logo, o diâmetro da circunferência é igual a 4.
A diagonal do quadrado inscrito na circunferência coincide com o diâmetro.
Vamos considerar que o lado do quadrado é igual a x. Utilizando o Teorema de Pitágoras, temos que:
4² = x² + x²
16 = 2x²
x² = 8
x = 2√2.
Sabemos que perímetro é igual a soma de todos os lados do polígono. Portanto,
2p = 2√2 + 2√2 + 2√2 + 2√2
2p = 8√2.
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