Question

Seja C a circunferência de raio 12centrada na origem.a) Seja P = (c1, c2), com c1 e c2 números reais, um ponto de C. Escreva as equaçõesparamétricas e cartesiana da reta que é tangente a C e que passa por P. Faça um esboço, no plano OXY da circunferência, do ponto P e da reta tangente a C, passandopor P.b) Equações cartesianas de retas tangentes a C sempre podem ser escritas da forma ax+by = 1,com a e b números reais. Explique porque.c) Encontre uma relação entre a e b, descritos no item anterior

Answer 1

a) Como a circunferência possui centro na origem e raio igual $\frac{1}{2}$, então a equação que descreve a circunferência é:

$c: x^2 + y^2 = \frac{1}{4}$

De acordo com o enunciado, P(c₁,c₂) é um ponto da circunferência e O(0,0) é a origem. Então podemos dizer que o vetor OP é normal à reta tangente, ou seja OP(c₁,c₂).

Assim, a reta tangente é igual a c₁x + c₂y = d.

Substituindo o ponto P para calcular o valor de d:

c₁.c₁ + c₂.c₂ = d

c₁² + c₂² = d

Perceba que $c_1^2 +c_2^2 = \frac{1}{4}$. Logo, $d = \frac{1}{4}$.

Assim, a equação cartesiana da reta tangente é $c_1x + c_2y = \frac{1}{4}$.

Como o vetor OP é normal à reta, então podemos dizer que (OP)' = (-c₂,c₁) é o vetor direção da reta.

Portanto, uma equação paramétrica da reta tangente é:

{x = -c₂t + c₁

{y = c₁t + c₂

sendo t ∈ IR.

b) De acordo com o item anterior, temos que a equação cartesiana é $c_1x + c_2y = \frac{1}{4}$.

Perceba que podemos multiplicar toda a equação por 4, ou seja:

4c₁x + 4c₂y = 1

Considerando que a = 4c₁ e b = 4c₂, então as equações cartesianas de retas tangentes podem ser escritas como ax + by = 1.

c) Do item b sabemos que a = 4c₁ e b = 4c₂. Então:

$4 = \frac{a}{c_1}$ e $4 = \frac{b}{c_2}$.

Portanto, é válida a seguinte relação:

$a = \frac{bc_1}{c_2}$