Question

Seja C a circunferência de raio 1
2 centrada na origem.
a) [1.5 pontos] Seja P = (c1; c2), com c1 e c2 números reais, um ponto de C. Escreva as equações
paramétricas e cartesiana da reta que é tangente a C e que passa por P.
_ Faça um esboço, no plano OXY da circunferência, do ponto P e da reta tangente a C, passando
por P.
b) [1 ponto] Equações cartesianas de retas tangentes a C sempre podem ser escritas da forma ax+by = 1,
com a e b números reais. Explique porque.
c) [1 ponto] Encontre uma relação entre a e b, descritos no item anterior

Answer 1

a) Como a circunferência possui centro na origem e raio igual $\frac{1}{2}$, então a equação que descreve a circunferência é:

$c: x^2 + y^2 = \frac{1}{4}$

P(c₁,c₂) é um ponto da circunferência e O(0,0) é a origem. Então podemos dizer que o vetor OP é normal à reta tangente, ou seja OP(c₁,c₂).

Assim, a reta tangente possui a forma c₁x + c₂y = d.

Para calcular o valor de d basta substituir o ponto P:

c₁.c₁ + c₂.c₂ = d

c₁² + c₂² = d

Perceba que $c_1^2 +c_2^2 = \frac{1}{4}$. Logo, $d = \frac{1}{4}$.

Assim, a equação cartesiana da reta tangente é $c_1x + c_2y = \frac{1}{4}$.

Como o vetor OP é normal à reta, então podemos dizer que (OP)' = (-c₂,c₁) é o vetor direção da reta.

Portanto, uma equação paramétrica da reta tangente é:

{x = -c₂t + c₁

{y = c₁t + c₂

sendo t ∈ IR.

b) De acordo com o item anterior, temos que a equação cartesiana é $c_1x + c_2y = \frac{1}{4}$.

Multiplicando por 4 toda a equação cartesiana para "eliminarmos" o denominador, obtemos:

4c₁x + 4c₂y = 1

Considerando que a = 4c₁ e b = 4c₂, então as equações cartesianas de retas tangentes podem ser escritas como ax + by = 1.

c) Como de acordo com o item b) temos que a = 4c₁ e b = 4c₂, então:

$4 = \frac{a}{c_1}$ e $4 = \frac{b}{c_2}$.

Assim, podemos escrever a seguinte relação entre a e b:

$a = \frac{bc_1}{c_2}$