Question

Seja C a circunferência de equação x2 + y2 + 2x + 4y + 2=0. Considere em C a corda MN cujo
ponto médio é P(-1, -1). O comprimento de MN (em unidade de comprimento) é igual a

Answer 1

a) Vamos obter a equação reduzida da circunferência:

$x^2 + y^2 + 2x + 4y + 2=0\\ x^2+2x+1+y^2+4y+4=-2+1+4\\ (x+1)^2+(y+2)^2=3$

Dai concluímos que o Centro C da circunferência esta no ponto (-1,-2)

b) Logo os ponto C e P estão na mesma reta vertical (pois possuem a mesma abscissa -1)

c) Isto significa que a corda MN é perpendicular a reta CP e pertence à reta suporte y = -1

d) Logo precisamos conhecer os pontos de intersecção da reta y = -1 com a circunferência. fazemos isto substituindo y por -1:

$x^2 + y^2 + 2x + 4y + 2=0\\ x^2+(-1)^2+2x+4.(-1)+2=0\\ x^2+1+2x-4+2=0\\ x^2+2x-1=0\\ \\ \Delta=2^2-4.1.(-1)\\ \Delta=4+4=8\\ \\ x=\frac{-2\pm \sqrt8}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt2}{2}=-1\pm\sqrt2$
Os pontos de interesecção procurados são:

$M(-1-\sqrt2;-1) \ e \ N(-1+\sqrt2;-1)$


Finalmente vamos determinar a distância MN:

$d_{MN}=\sqrt{(-1+\sqrt2-(-1-\sqrt2)^2+(-1+1)^2}=\\ \\ =\sqrt{-1+\sqrt2+1+\sqrt2)^2}=\sqrt{(2\sqrt2)^2}=\boxed{2\sqrt2}$

Answer 2

O comprimento de MN é igual a 2√2.

Primeiramente, vamos calcular o centro e o raio da circunferência x² + y² + 2x + 4y + 2 = 0.

Para isso, vamos completar quadrado:

x² + 2x + 1 + y² + 4y + 4 = -2 + 1 + 4

(x + 1)² + (y + 2)² = 3.

Portanto, o centro da circunferência é o ponto C = (-1,-2) e o raio é igual a r = √3.

Observe a figura abaixo.

Os triângulos CPM e CPN são retângulos, sendo que:

CM = CN = √3

OP = 1.

Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo CPM:

(√3)² = 1² + PM²

3 = 1 + PM²

PM² = 2

PM = √2.

Como P é ponto médio do segmento MN, então podemos concluir que PM = NP = √2.

Logo, MN = 2√2.

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