Question

Seja C a circunferência da implicitamente x²+y²=1 e t a reta tangente à C no ponto de abscissa x_=√2/2, como mostra a figura abaixo.
Calcule o valor da área sombreada

Answer 1

como a equação não tem a nem b, o centro será zero...
\/2/2 é seno e cosseno de 45º, então a tangente vai fornecer a secante de 45º...
secante = 1/ seno --> sec 45º = 1/(\/2/2) = 2 / \/2 = 2\/2 / 2 = \/2 (lado do triângulo formado pelos eixos na figura...
Calculando a área do triângulo: A = b . h / 2 --> A = \/2 . \/2 / 2 --> A = 2/2 -->   A = 1
Calculando a área do quadrante: 
A = pi.r²/4 --> A = pi.1/4 --> A = pi/4
Subtraindo: 
Área sombreada = 1 - pi/4 --> As = 4pi/4 - pi/4 --> As = 3pi/4

Answer 2

Olá Carlos

x² + y² = 1

y no ponto x = (√2/2)

(√2/2)² + y² = 1

1/2 + y² = 1

y² = 1 - 1/2 = 1/2
y = 1/2

equação da reta tangente 
y - √2/2 = m *(x - √2/2) 

equação geral
mx - y - m√2/2 + √2/2

a distancia da reta ao centro é igual ao raio r = 1
 
d = |mx - y - m√2/2 + √2/2|/√(m² + 1)

d =  |m*0 - 0 - m√2/2 + √2/2|/√(m² + 1) = 1

- m√2/2 + √2/2 = √(m² + 1) 
(-m√2/2 + √2/2)² = m² + 1
(√2/2)²*(1 - m)² = m² + 1
1/2 * (m² - 2m + 1) = m² + 1
(m² - 2m + 1) = 2m² + 2
m² + 2m + 1 = 0 
(m + 1)² = 0

m = -1 

equação da reta tangente

y - √2/2 = -1 * (x - √2/2)
y = -x + √2

para y = 0 ⇒ x = √2
para x = 0 ⇒ y = √2

área do triangulo
At = √2*√2/2 = 1

área do quarto circulo de raio r = 1
Ac = π/4

área sombreada
As = At - Ac
As = 1 - π/4