Question

Seja B=(i,j,k) uma base ortonormal positiva, u = (2,4,0) e v = (3,1,2). (a) Encontre vetores p e q tais que v = p + q, com p paralelo a u e q perpendicular a u. (b) Calcule as coordenadas de u ^ v e mostre que a tripla (p,q,u ^ v) é uma base positiva formada por vetores dois a dois ortogonais.

Obs: ^ = x (produto vetorial)
Obs: Eu cheguei na resposta da letra (a) com esse resultado: p = (1,2,0) e q = (2,-1,2)

Answer 1

(a)
Como p é paralelo a u, temos que p é da forma:
$p=au=a(2,4,0)=(2a,4a,0)$

Também é dado que q é perpendicular a u, logo:
$\ \textless \ q,u\ \textgreater \ =0\iff (q_x,q_y,q_z)\cdot(2,4,0)=0\iff 2q_x+4q_y=0\iff\\\\ q_x=-2q_y$

Assim, q é da forma: $q=(-2b,b,c)$.

Com isso, temos:

$v=p+q\iff (3,1,2)=(2a,4a,0)+(-2b,b,c)\iff\\\\(3,1,2)=(2a-2b,4a+b,c)\Longrightarrow c=2~~e:\\\\ \begin{cases}2a-2b=3\\4a+b=1\end{cases}\iff\begin{cases}a=\dfrac{3}{2}+b\\4a+b=1\end{cases}\Longrightarrow 4(\dfrac{3}{2}+b)+b=1\\\\ 6+4b+b=1\iff 5b=-5\iff b=-1\Longrightarrow a=\dfrac{1}{2}$

Assim:

$p=(1,2,0)~\text{e}~q=(2,-1,2)$

(b)
$u\times v=\left|\begin{matrix}i && j&& k\\ 2&& 4&&0\\3&& 1&& 2\end{matrix}\right|=(8i+0j+2k)-(0i+4j+12k)\\\\ u\times v=8i-4j-10k=(8,-4,-10)$

Para verificar que $p$, $q$ e $u\times v$ são ortogonais dois a dois, basta calcular o produto interno:

$\ \textless \ p,q\ \textgreater \ =(1,2,0)\cdot(2,-1,2)=2-2+0=0\to\text{ortogonais}\\\\ \ \textless \ p,u\times v\ \textgreater \ =(1,2,0)\cdot(8,-4,-10)=8-8+0=0\to\text{ortogonais}\\\\ \ \textless \ q,u\times v\ \textgreater \ =(2,-1,2)\cdot(8,-4,-10)=16+4-20=0\to\text{ortogonais}$

Logo, os vetores são ortogonais dois a dois. Com isso, pode-se afirmar que são linearmente independentes e, consequentemente, formam uma base do $\mathbb{R}^3$.

Answer 2

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São dados dois vetores do $\mathbb{R}^3$

$\overrightarrow{u}=(2,\,4,\,0)$  e  $\overrightarrow{v}=(3,\,1,\,2).$

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(a)   Encontrar dois vetores $\overrightarrow{p}$ e $\overrightarrow{q}$ de modo que

•   $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}\qquad\quad\mathbf{(i)}$

•   $\overrightarrow{p}\parallel \overrightarrow{u}\qquad\quad\mathbf{(ii)}$

•   $\overrightarrow{q}\perp \overrightarrow{u}\qquad\quad\mathbf{(iii)}$


Observe a figura em anexo para melhor compreensão.

Por $\mathbf{(i)},$ percebemos que a soma de $\overrightarrow{p}$  e  $\overrightarrow{q}$ é apenas a decomposição de $\overrightarrow{v}$ em duas componentes: uma paralela e outra ortogonal a $\overrightarrow{u}.$


A componente $\overrightarrow{p}$ nada mais é do que a projeção ortogonal de $\overrightarrow{v}$ na direção de $\overrightarrow{u}:$

$\overrightarrow{p}=\mathrm{proj}_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}\\\\\\ =\dfrac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{u}\|^2}\cdot \overrightarrow{u}\\\\\\ =\dfrac{(2,\,4,\,0)\cdot (3,\,1,\,2)}{\|(2,\,4,\,0)\|^2}\cdot (2,\,4,\,0)\\\\\\ =\dfrac{2\cdot 3+4\cdot 1+0\cdot 2}{2^2+4^2+0^2}\cdot (2,\,4,\,0)\\\\\\ =\dfrac{6+4+0}{4+16+0}\cdot (2,\,4,\,0)$

$=\dfrac{10}{20}\cdot (2,\,4,\,0)\\\\\\ =\dfrac{1}{2}\cdot (2,\,4,\,0)\\\\\\\\ \therefore~~\overrightarrow{p}=(1,\,2,\,0)\qquad\quad\checkmark$


Encontrando as coordenadas de $\overrightarrow{q}:$

$\overrightarrow{q}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{p}\\\\ =(3,\,1,\,2)-(1,\,2,\,0)\\\\ =(3-1,\,1-2,\,2-0)\\\\\\ \therefore~~ \overrightarrow{q}=(2,\,-1,\,2)\qquad\quad\checkmark$

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(b)   Calculando o produto vetorial de $\overrightarrow{u}$ por $\overrightarrow{v}.$

$\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\ u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3 \end{vmatrix}\\\\\\\\ =\begin{vmatrix} \overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\ 2&4&0\\ 3&1&2 \end{vmatrix}$


Desenvolvendo o determinante via Laplace pela 1ª linha, fica

$=\begin{vmatrix} 4&0\\ 1&2 \end{vmatrix}\overrightarrow{i}-\begin{vmatrix} 2&0\\ 3&2 \end{vmatrix}\overrightarrow{j}+\begin{vmatrix} 2&4\\ 3&1 \end{vmatrix}\overrightarrow{k}$

$=(4\cdot 2-1\cdot 0)\overrightarrow{i}-(2\cdot 2-3\cdot 0)\overrightarrow{j}+(2\cdot 1-3\cdot 4)\overrightarrow{k}$

$=8\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}-10\overrightarrow{k}\\\\\\ \therefore~~\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}=(8,\,-4,\,-10)\qquad\quad\checkmark$

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Mostrar que o conjunto

$\left\{ \overrightarrow{p},\,\overrightarrow{q},\,\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v} \right\}$

é uma base positiva para $\mathbb{R}^3,$ e seus vetores são ortogonais dois a dois.


Verifica a medida do ângulo $\theta$ que o produto vetorial entre dois vetores da base forma com o 3º vetor..

•   Se para cada par de vetores, $0\le \theta\le 90^\circ,$ então a base é positiva;

•   Se para algum par de vetores, $90^\circ< \theta\le 180^\circ,$ então a base é negativa.

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Para os cálculos envolvidos nos passos abaixo, veja o arquivo em anexo.

•  Calculando $\overrightarrow{p}\wedge \overrightarrow{q}:$

$\overrightarrow{p}\wedge \overrightarrow{q}=(4,\,-2,\,-5)\\\\ =\dfrac{1}{2}\cdot (8,\,-4,\,-10)\\\\\\ =\dfrac{1}{2}\cdot \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}\qquad\quad\left(\dfrac{1}{2}>0\right)\qquad\checkmark$


•  Calculando $\overrightarrow{q}\wedge (\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v}):$

$\overrightarrow{q}\wedge (\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v})=(18,\,36,\,0)\\\\ =18\cdot (1,\,2,\,0)\\\\ =18\cdot \overrightarrow{p}\qquad\quad(18>0)\qquad\checkmark$


•  Calculando $(\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v})\wedge\overrightarrow{p}:$

$(\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v})\wedge\overrightarrow{p}=(20,\,-10,\,20)\\\\ =10\cdot(2,\,-1,\,2)\\\\ =10\cdot\overrightarrow{q}\qquad\quad(10>0)\qquad\checkmark$


O resultado do produto vetorial entre cada par de vetores da base é sempre um múltiplo positivo do 3º vetor da base, significando que

•   O ângulo entre cada produto vetorial calculado e o 3º vetor é zero, caracterizando uma base positiva;

•   Cada produto vetorial calculado tem o mesmo sentido que o 3º vetor. Como o produto vetorial entre dois vetores é simultaneamente ortogonal a estes, então o 3º vetor também o é, já que possui o mesmo sentido do produto vetorial. Aqui, mostramos que temos uma base de vetores ortogonais.


Bons estudos! :-)


Tags:   base positiva ortogonal produto vetorial decomposição de vetores projeção ortogonal vetor geometria analítica álgebra linear