Question

Seja b > 0 e considere a função f (x) = logb (x). Determine a integral definida de f (x) para x variando entre 1 e E.


Alternativas na imagem

Answer 1

Resposta: Letra C

 

Vamos lá. Primeiramente, reescreva logaritmo decimal para um logaratimo natural. Para fazer isso, utilize a propriedade de mudança de base mudando para a base $e$:

 

$\begin{array}{l}\displaystyle\int^e_1f(x)\,dx=\displaystyle\int^e_1 log_b^x\,dx\\\\=\displaystyle\int^e_1 \dfrac{log_e^x}{log_e^b}\,dx\\\\=\displaystyle\int^e_1 \dfrac{\ln x}{\ln b}\,dx\end{array}$

 

Retire a constante da integração, deixando somente a variável:

 

$\begin{array}{l}\displaystyle\int^e_1f(x)\,dx=\dfrac{1}{\ln (b)}\cdot\displaystyle\int^e_1 \ln (x)\,dx\\\\=\dfrac{1}{\ln (b)}\cdot\bigg(\displaystyle\int \ln (x)\,dx\bigg)\,\bigg|^e_1\end{array}$

 

Para calcular essa integral, faça por partes. A fórmula da integração por partes é:

     $\begin{array}{l}\bullet~\,\displaystyle\int u\,dv=uv-\displaystyle\int v\,du\end{array}$

Então, tome por $u$ e $dv$, respectivamente, $dx$ e $\ln x$, de modo que:

$u=\ln (x)\implies du=\dfrac{1}{x}\,dx$

$dv=dx\implies \int dv=\int dx\implies v=x$

 

Então:

 

$\begin{array}{l}\displaystyle\int^e_1f(x)\,dx=\dfrac{1}{\ln (b)}\cdot\bigg(x\ln (x)-\displaystyle\int x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx\bigg)\,\bigg|^e_1\\\\=\dfrac{1}{\ln (b)}\cdot\bigg(x\ln(x)-\displaystyle\int 1\,dx\bigg)\,\bigg|^e_1\\\\=\dfrac{1}{\ln (b)}\cdot(x\ln(x)-x)\,\big|^e_1\\\\=\dfrac{1}{\ln (b)}\cdot[x(\ln(x)-1)]\,\big|^e_1\\\\=\dfrac{1}{\ln (b)}\cdot[e(\ln(e)-1)-1(\ln(1)-1)]\\\\=\dfrac{1}{\ln (b)}\cdot[e(0)-1(0-1)]\\\\=\dfrac{1}{\ln (b)}\cdot(0+1)\end{array}$

$\begin{array}{l}=\dfrac{1}{\ln (b)}\cdot1\\\\=\dfrac{1}{\ln (b)}\end{array}$

 

Dessarte,

$\red{\boldsymbol{\displaystyle\int^e_1f(x)\,dx=\dfrac{1}{\ln (b)}}}\,.$