Question

Seja B = (bij)3x3 a matriz inversa de uma matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 5j – 3i, para todo 1 ≤ i, j ≤ 3. Logo, podemos dizer que

A
A não admite matriz inversa.

B
bij = 3j – 5i, para todo 1 ≤ i, j ≤ 3.

C
A é uma matriz não singular.

D
bij = 5j – 3i, para todo 1 ≤ i, j ≤ 3.

E
det AB = 0.

Answer 1

Utilizando definição de combinação linear em matrizes, temos que: A) A não admite matriz inversa.

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiramente tentar escrever esta matriz:

$A_{i,j}=5j-3i$

Assim escrevendo termo a termo, pois sabemos que i representa o número da linha e j representa a coluna:

$A=\left[\begin{array}{ccc}2&7&12\\-1&4&9\\-4&1&6\end{array}\right]$

Agora teríamos que primeiramente encontrar a determinante desta matriz e ver se ela admite inversa, porém esta questão é bem mais fácil, basta ter um pouco de paciência para perceber.

Vamos pegar somente a coluna do meio e multiplicar por 2:

$2.\left[\begin{array}{c}7\\4\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}14\\8\\2\end{array}\right]$

Agora vamos pegar este resultado e subtrair a primeira coluna da matriz:

$\left[\begin{array}{c}14\\8\\2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}2\\-1\\-4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}14-2\\8+1\\2+4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12\\9\\6\end{array}\right]$

Ou seja, note que usando somente a primeira e a segunda coluna nós encontramos a terceira, logo, isto significa que a terceira coluna é uma combinação das outras duas, e se isto acontece esta matriz é linearmente dependente entre as suas colunas, o que significa que ela é singular, e matrizes singulares possuem determinante igual a 0.

E sabendo que matrizes de determinante nulo não possuem inversa, então temos que: A) A não admite matriz inversa.