Seja B = {(1, 1, 1), (0, 2, 1), (0, 0, 1)} uma base de IR3. Considerando o produto interno usual, encontre uma base ortogonal a partir de B, usando o processo de ortogonalização de Gram Schmidt.
Escolha uma opção:
a) B' = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}
b) B' ={(1,1,1),(-1,0,0),(-1/2,-1/2,2)}
c) B' = {(1, 0, 1), (0, 2, 1), (0, 0, 1)}
d) B' ={(1,1,1),(-1,0,0),(-1/3,-1/3,2/3)}
e) Nenhuma das alternativas.
Soluções para a tarefa
Resposta:
B' ={(1,1,1),(-1,1,0),(-1/3,-1/3,2/3)}
Explicação passo-a-passo:
B = {v1, v2, v3} = {(1, 1, 1), (0, 2, 1), (0, 0, 1)}
W1 = v1
W1 = (1, 1, 1)
W2 = v2 - (v2 . W1 / W1 . W1)*W1
v2 . W1 / W1 . W1 = [(0, 2, 1) . (1, 1, 1)/(1, 1, 1) . (1, 1, 1)] = (0 + 2 + 1)/(1 + 1 + 1) = 1
(v2 . W1 / W1 . W1)*W1 = 1 * (1, 1, 1) = (1, 1, 1)
v2 - (v2 . W1 / W1 . W1)*W1 = (0, 2, 1) - (1, 1, 1) = (-1, 1, 0)
W2 = (-1, 1, 0)
W3 = v3 - (v3 . W2 / W2 . W2)*W2 - (v3 . W1 / W1 . W1)*W1
(v3 . W2 / W2 . W2) = [(0, 0, 1) . (-1, 1, 0)/(-1, 1, 0) . (-1, 1, 0)] = (0+0+0)/(1+1+0) = 0
(v3 . W1 / W1 . W1) = [(0, 0, 1) . (1, 1, 1)/(1, 1, 1) . (1, 1, 1)] = (0+0+1)/(1+1+1) = 1/3
(v3 . W2 / W2 . W2)*W2 = 0*(-1, 1, 0) = (0, 0, 0)
(v3 . W1 / W1 . W1)*W1 = 1/3 * (1, 1, 1) = (1/3, 1/3, 1/3)
v3 - (v3 . W2 / W2 . W2)*W2 - (v3 . W1 / W1 . W1)*W1 = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) - (1/3, 1/3, 1/3) = (-1/3, -1/3, 2/3)
W3 = (-1/3, -1/3, 2/3)
Resposta: B' ={(1,1,1),(-1,1,0),(-1/3,-1/3,2/3)}