Question

Seja as funções quadratica.. f (x)=ax2+bx+c...

Answer 1

Utilizando definições de funções do segundo grau, temos que:

a)  f1(12)=28 e f2(12)=233.

b) f1(x) tem duas raízes, x=5 e x=8 e f2(x) não temo raízes.

Explicação passo-a-passo:

Então temos o formato geral das funções de segundo grau:

$y=a.x^2+b.x+c$

E temos as condições para duas funções:

1 - $f(0)=40;f(2)=18;f(5)=0$

2 - $f(0)=5;f(2)=1;f(3)=8$

Vamos começar pela função 1, substituindo os valores:

$y_1=a.x^2+b.x+c$

$40=a.(0)^2+b.0+c$ (Substituindo f(0)=40)

$c=40$

Ficamos com:

$y_1=a.x^2+b.x+40$

Substituindo agora f(2)=18:

$y_1=a.x^2+b.x+40$

$18=a.2^2+b.2+40$

$18=4a+2b+40$

$4a+2b=-22$

$2a+b=-11$

Substituindo agora f(5)=0:

$y_1=a.x^2+b.x+40$

$0=a.5^2+b.5+40$

$0=25a+5b+40$

$25a+5b=-40$

$5a+b=-8$

$b=-5a-8$

Substituindo este resultado no anterior:

$2a+b=-11$

$2a-5a-8=-11$

$-3a=-3$

$a=1$

E temos:

$b=-5a-8$

$b=-5.1-8$

$b=-13$

Então nossa função é:

$y_1=x^2-13.x+40$

Agora vamos para a segunda função, substituindo f(0)=5:

$y_2=a.x^2+b.x+c$

$5=a.0^2+b.0+c$

$c=5$

Agora substituindo f(2)=1:

$y_2=a.x^2+b.x+5$

$1=a.2^2+b.2+5$

$2a+b=-2$

Substituindo f(3)=8:

$y_2=a.x^2+b.x+5$

$8=a.3^2+b.3+5$

$8=9a+3b+5$

$3=9a+3b$

$1=3a+b$

$b=1-3a$

Substituindo este resultado no anterior:

$2a+b=-2$

$2a-3a=-2$

$-a=-2$

$a=2$

E então:

$b=1-3a$

$b=1-3.2$

$b=-5$

Então nossa função é:

$y_2=2x^2-5.x+5$

Assim nossas duas funções são:

$y_1=x^2-13.x+40$

$y_2=2x^2-5.x+5$

Podemos com isso ir para as perguntas:

a) f(12).

Basta substituir x por 12:

$y_1=12^2-13.12+40=144-156+40=28$

$y_2=2(12)^2-5.12+5=288-60+5=233$

Assim temos f1(12)=28 e f2(12)=233.

b) f(x)=0:

Novamente basta substituir y por 0 e encontrar as raízes por meio de Bhaskara:

$y_1=x^2-13.x+40$

$\Delta=(-13)^2-4.1.40$

$\Delta=169-160$

$\Delta=9$

$\sqrt{\Delta}=3$

$x=\frac{13\pm 3}{2}$

$x_1=\frac{13-3}{2}=5$

$x_2=\frac{13+3}{2}=8$

Assim f1(x) tem duas raízes, x=5 e x=8.

Agora para f2(x):

$0=2x^2-5x+5$

$\Delta=(-5)^2-4.2.5$

$\Delta=25-40$

$\Delta=-15$

Como Delta é negativo, então f2(x) não tem raízes.