Question

Seja An a área de um polígono com n lados iguais inscrito num círculo com raio r. Dividindo o polígono em n triângulo congruentes com ângulo central de 2π/n, mostre que

An = ( 1/2 ) nr² ( sen ( 2π/n ) )

Assunto: Integrais.

Answer 1

Considere a figura anexa, exemplificada para um pentágono regular ($n=5$).

Uma vez que se dividiu o polígono de $n$ lados em $n$ triângulos congruentes, é claro que a área do polígono será dada por:

$A_n = nA_\triangle,$

onde $A_\triangle$ representa a área de um dos triângulos.

Notamos agora que, uma vez que o polígono está inscrito na circunferência de raio $r$, os triângulos terão, pelo menos, dois lados iguais, que correspondem aos raios da circunferência.

Dividimos agora o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes, tal como exposto na figura. Assim, a área do triângulo será dada pelo dobro da área de um destes triângulos.

Seja agora $h$ a altura de um dos triângulos menores e $\ell$ a sua base, tal como indicado na figura. Por trigonometria, temos:

$h = r\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right),$

$\ell = r\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right).$

A área de um dos triângulos menores é, então:

$A_t = \dfrac{h\ell}{2} = \dfrac{r\sin(\alpha/2)r\cos(\alpha/2)}{2} = \dfrac{r^2}{2}\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right).$

Recordando que o seno do ângulo duplo é:

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta,$

tomamos $\theta=\dfrac{\alpha}{2}$ e obtemos:

$\sin \alpha = 2\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) \iff \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{\sin\alpha}{2}.$

Substituindo em $A_t$, vem:

$\dfrac{r^2}{2}\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{r^2}{2}\times\dfrac{\sin\alpha}{2} = \dfrac{r^2\sin\alpha}{4}.$

Portanto, obtemos a área de cada um dos $n$ triângulos:

$A_\triangle = 2A_t = 2\times \dfrac{r^2\sin\alpha}{4} = \dfrac{r^2\sin\alpha}{2}.$

Assim, a área do polígono é:

$A_n = nA_\triangle = \dfrac{nr^2\sin\alpha}{2}.$

Notando ainda que o ângulo ao centro é dado por $\alpha = \dfrac{2\pi}{n}$, concluímos por fim:

$A_n = nA_\triangle = \dfrac{nr^2}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right).$

Note que o resultado faz sentido, pois tomando o limite quando $n\to\infty$, tem-se:

$\lim\limits_{n\to\infty}A_n = \lim\limits_{n\to\infty} \left[\dfrac{nr^2}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\right] = \dfrac{r^2}{2}\lim\limits_{n\to\infty} \left[n\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\right].$

Fazendo agora a mudança de variável $y = \dfrac{2\pi}{n} \iff n=\dfrac{2\pi}{y}$, tem-se que $y\to 0^+$ quando $n\to\infty$, pelo que:

$\dfrac{r^2}{2}\lim\limits_{n\to\infty} \left[n\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)\right] = \dfrac{r^2}{2}\lim\limits_{y\to 0^+} \left(\dfrac{2\pi}{y}\sin y\right) = \pi r^2 \underbrace{\lim\limits_{y\to 0^+} \dfrac{\sin y}{y}}_{=1} = \pi r^2.$

Assim, conclui-se que:

$\lim\limits_{n\to\infty} A_n = \pi r^2,$

que corresponde à área do círculo.