Question

Seja "ABCD" um trapézio de bases "AB" e "CD". Seja "E" o ponto de interseção das diagonais de "ABCD".

1. Mostre que os triângulos "ABE" e "CDE" são semelhantes.

2. Sejam "a" e "b" as medidas das bases "AB" e "CD" de "ABCD" respectivamente, "h" a altura de "ABCD", "h1" a altura do triângulo "ABE" relativa ao lado "AB" e "h2" a altura do triângulo "CDE" relativa ao lado "CD". Mostre que h1 = ah/a+b e h2 = bh/a+b.

3. Mostre que √(ABCD) = √(ABE) + √(CDE), onde (ABCD), (ABE) e (CDE) denotam as áreas do trapézio "ABCD" e dos triângulos "ABE e CDE", respectivamente.

Answer 1

1) Proba
 AB || CD ====> m<EDC = m < EBA e m < DCE = m < EAB
Por ende (AAA) ya que os ángulos sao iguales os triángulos DEC e AEB sao semejantes 

2) 
a) Trace uma semireta paralela al segemento DB por o punto C
b) Prolongue AB hasta que se corte con la semireta (a) en um  punto F
c) Os triangulos DEC, AEB e ACF sao semejantes, entao 

     $\dfrac{h_1}{a}=\dfrac{h_2}{b}=\dfrac{h}{a+b}\\ \\ \\ h_1=\dfrac{ah}{a+b}~~~~~\&~~~~~~h_2=\dfrac{bh}{a+b}$

3)

         $[ABCD]=\dfrac{a+b}{2}\times h\\ \\ \\ \left[ABE\right]=\dfrac{ah_1}{2}=\dfrac{a}{2}\times \dfrac{ah}{a+b}=\dfrac{a^2h}{2(a+b)}\\ \\ \\ \left[CDE\right]=\dfrac{bh_2}{2}=\dfrac{b}{2}\times \dfrac{bh}{a+b}=\dfrac{b^2h}{2(a+b)}\\ \\ \\ ===========\\ \\ \sqrt{[ABE]}=a\sqrt{\dfrac{h}{2(a+b)}}\\ \\ \\ \sqrt{[CDE]}=b\sqrt{\dfrac{h}{2(a+b)}}\\ \\ \\ \sqrt{[ABE]}+\sqrt{[CDE]}=(a+b)\sqrt{\dfrac{h}{2(a+b)}}$

        $\sqrt{[ABE]}+\sqrt{[CDE]}=\sqrt{\dfrac{h(a+b)^2}{2(a+b)}}\\ \\ \\ \sqrt{[ABE]}+\sqrt{[CDE]}=\sqrt{\dfrac{h(a+b)}{2}}\\ \\ \\ \sqrt{[ABE]}+\sqrt{[CDE]}=\sqrt{[ABCD]}$