Question

Seja ABCD um quadrado de lado l, em que AC e BD são suas diagonais. Seja O o ponto de encontro dessas diagonais e sejam P e Q os pontos médios dos segmentos AO e BO, respectivamente. Pode-se dizer que a área do quadrilátero que tem vértices nos pontos A, B, Q é P vale:

Answer 1

Pela imagem (anexa), podemos perceber que o quadrilátero ABQP é um trapézio.

A área do trapézio é definida por:

$A = \frac{(B+b)\cdot h}{2}$

Onde:

B: Base maior

b: Base menor

h: Altura

A base maior é o valor do lado do quadrado.

Pelo teorema da base média do triângulo, temos para a base menor:

$PQ=\frac{AB}{2}$

Vamos provar, pelo teorema de Tales, que a altura equivale um quarto do lado. Temos na segunda imagem (anexa):

$\frac{RS}{OS} =\frac{QB}{OB}$

Onde:

$RS = h \\ \\ OS = \frac{l}{2} \\ \\ QB = \frac{d}{4} \\ \\ OB = \frac{d}{2}$

Encontrando o valor da altura em relação ao lado:

$h:\frac{l}{2}=\frac{d}{4}:\frac{d}{2} \\ \\ \frac{2h}{l} = \frac{2}{4} \\ \\ h = \frac{l}{4}$

Portanto, os valores são:

$B = l \\ \\ b = \frac{l}{2} \\ \\ h = \frac{l}{4}$

Encontrando a área:

$A = \frac{(l+\frac{l}{2} )\cdot\frac{l}{4} }{2} \\ \\ A = \frac{(\frac{3l}{2} )\cdot\frac{l}{4} }{2} \\ \\ A = \frac{3}{8\cdot 2}l^2 \\ \\ A = \frac{3}{16}l^2$