Question

Seja ABCD um paralelogramo. Traçam-se as bissetrizes dos ângulos  e B, as quais se interceptam em P. Seja AB = 3cm e sen (Â/2) = 1/√3 cm², calcule em cm², a área do triângulo ABP. Use ( √2= 1,4 )

Answer 1

          D                    C


A                      B
Tratando-se de paralelogramo:   A + D = 180°
como B = D  ⇒  A+B = 180°
Logo bissetrizes de A e B somam ângulo de 180°/2 = 90° ⇒  P = 90°
sen(A/2) = 1/√3 ⇒  cos²(A/2) = 1 - sen²(A/2)
cos²(A/2) = 1 -  1/3 ⇒ cos(A/2) = √(2/3) ⇒ cos(A/2) = (√6)/3
Se ΔAPB é retângulo (P=90°) ⇒ AP/3 =  cos(A/2)
AP = 3(√6)/3 ⇒ AP = √6
Área ΔAPB = [AB×AP×sen(A/2)]/2
Área ΔAPB = ___3×√6__  ⇒ área ΔAPB = _3√2_
                             2√3                                      2 
Área ΔAPB = 2,1cm²

Answer 2

Esboce o paralelogramo ABCD (coloque A, B, C e D no sentido anti-horário - pode ser no horário também - tem que ser na sequência)

Trace as bissetrizes de  e de ^B. No ponto de encontro, marque o ponto P. As bissetrizes dividem o ângulo ao meio, portanto, você tem 2 ângulos de medida Â/2 cada e 2 ângulos de medida ^B/2 cada.

No lado AB marque sua medida 3 cm

Trace uma perpendicular ao lado AB, pelo ponto P. De P até AB você tem a altura do triângulo ABP. Chame essa altura de h. Chame o "pé" dessa perpendicular de H

Note que o triângulo APH é retângulo em H. Note que AH é a metade de AB, pois as bissetrizes interceptam-se nos seus pontos médios.

Sabemos que sen x = (cateto oposto) / hipotenusa
Então, sen Â/2 = h/AP
1/raiz de 3 = h/AP
AP = h.raiz de 3

Usando, agora, o teorema de Pitágoras, para esse mesmo triângulo (hipotenusa ao quadrado = cateto ao quadrado + outro cateto ao quadrado), temos:
(h . raiz de 3) ao quadrado = h ao quadrado + (3/2) ao quadrado
3 . h ao quadrado = h ao quadrado + 9/4
3 . h ao quadrado - h ao quadrado = 9/4
2 . h ao quadrado = 9/4
h ao quadrado = 9 / 4.2
h = raiz quadrada de 9/4.2 = 3/2.raiz de 2 = 3 . raiz de 2 / 2 . raiz de 2 . raiz de 2 =
= 3 . raiz de 2 / 2 .2 = (3 . raiz de 2) / 4 = 3.1,4 / 4 = 4,2 / 4 = 1,05 cm

área do triângulo = base . altura / 2
área do triângulo ABP = 3.1,05 / 2 = 3,15/2 = 1,575 cm quadrados