Question

Seja ABC um triângulo retângulo isosceles (AB = BC), reto em B. Seja D o ponto médio do segmento BC e C a circunferência de centro D e raio BD

escrevendo R= BD, a área da região hachurada é:

Answer 1

Perceba que a área hachurada é igual a área do triângulo ΔABC menos a área do triângulo retângulo menor de catetos R e a área do setor circular de 90°.

Vamos calcular cada uma dessas três áreas.

Área do triângulo maior

Como AB = BC = 2R, então:

$A_{tma} = \frac{2R.2R}{2} = 2R^2$

Área do triângulo menor

$A_{tme} = \frac{R.R}{2} = \frac{R^2}{2}$

Área do setor circular

$A_s = \frac{\pi .R^2.90}{360} = \frac{R^2. \pi}{4}$

Portanto, a área hachurada é:

$A_h = 2R^2 - \frac{R^2}{2} - \frac{R^2 \pi}{4}$

$A_h = \frac{3R^2}{2} - \frac{\pi R^2}{4}$

Colocando o R² em evidência:

$A_h = R^2(\frac{3}{2}-\frac{\pi}{4})$