Seja ABC um triângulo equilátero de lado a e M o ponto médio do lado AB . Seja D o ponto sobre a reta BC , com C entre B e D , de modo que CD =a/2 . Seja E o ponto de interseção de AC e DM . Seja F o ponto de interseção de DE com a reta paralela a AB passando por C .
Explique por que os triângulos DBM e DCF são semelhantes.
Calcule o comprimento do segmento de reta CF em função de a .
Explique por que os triângulos CEF e AEM são semelhantes.
Calcule o comprimento do segmento de reta AE em função de a .
Soluções para a tarefa
A explicação do porquê os triângulos DBM e DCF são semelhantes está descrita abaixo; O comprimento do segmento de reta CF é a/6; Os triângulos CEF e AEM são semelhantes pelo caso AA~; O comprimento do segmento de reta AE é 4a/3.
a) Observe que o segmento BM é paralelo ao segmento CF.
Existe um teorema que nos diz que:
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e encontra os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.
Portanto, os triângulos DBM e CDF são semelhantes.
b) Como o lado do triângulo é a e M é ponto médio, então BM = a/2.
Como os triângulos DBM e CDF são semelhantes, então:
BM/BD = CF/CD
(a/2)/(a + a/2) = CF/(a/2)
a/2.a/2 = CF.(a + a/2)
a²/4 = CF.3a/2
a/4 = 3CF/2
2a/12 = CF
CF = a/6.
c) Os triângulos CEF e AEM são semelhantes porque AM // CF e, consequentemente, os ângulos AME e CFE são congruentes.
Os ângulos AEM e CEF são congruentes, porque são opostos pelo vértice.
Logo, os triângulos CEF e AEM são semelhantes pelo caso AA~.
d) Podemos dizer que:
CF/AM = EC/AE.
Como CF = a/6, AM = a/2 e AC = AE + EC, ou seja, AE + EC = a e EC = a - AE.
Portanto:
(a/6)/(a/2) = (a - AE)/AE
1/3 = (a - AE)/AE
AE = 3(a - AE)
AE = 3a - 3AE
4AE = 3a
AE = 3a/4.
