Question

Seja ABC um triângulo equilátero de lado a e M o ponto médio do lado AB. Seja D o ponto sobre a reta BC, com C entre B e D, de modo que CD = a/2. Seja E o ponto de interseção de AC e DM. Seja F o ponto de interseção de DE com a reta paralela a AB passando por C.

1 - Explique por que os triângulos DBM e DCF são semelhantes.
2 - Calcule o comprimento do segmento de reta CF em função de a.
3 - Explique por que os triângulos CEF e AEM são semelhantes.
4 - Calcule o comprimento do segmento de reta AE em função de a.

Answer 1

Os triângulos DBM e DCF são semelhantes porque BM // CF; O segmento CF é igual a a/6; Os triângulos CEF e AEM são semelhantes pelo caso AA~; O segmento AE é igual a 3a/4.

1. Os segmentos BM e CF são paralelos.

Observe que ao traçarmos um segmento paralelo à base BM do triângulo DBM, obtemos um novo triângulo, que é DCF.

Existe uma propriedade que diz que esse novo triângulo é semelhante ao triângulo maior.

Portanto, podemos concluir que os triângulos DBM e DCF são semelhantes.

2. Se DBM e DCF são semelhantes, então é correto que:

BM/DB = CF/CD.

Como BM = a/2, DB = a + a/2 = 3a/2 e CD = a/2, podemos afirmar que a medida do segmento CF é:

(a/2)/(3a/2) = CF/(a/2)

a/2.a/2 = CF.3a/2

a²/4 = 3aCF/2

a/4 = 3CF/2

CF = 2a/12

CF = a/6.

3. Como AM e CF são paralelos, então os ângulos AME e EFC são congruentes.

Além disso, temos que os ângulos AEM e FEC são opostos pelo vértice.

Portanto, podemos concluir que os triângulos CEF e AEM são semelhantes pelo caso AA~.

4. Como os triângulos CEF e AEM são semelhantes, então é correto dizer que:

AM/AE = CF/EC.

Observe que AM = a/2, CF = a/6 e EC = a - AE.

Logo, a medida do segmento AE é igual a:

(a/2)/AE = (a/6)/(a - AE)

(a/2).(a - AE) = AE.a/6

a²/2 - AE.a/2 = AE.a/6

a/2 = AE/2 + AE/6

a = AE + AE/3

a = 4AE/3

AE = 3a/4.