Question

Seja ABC um triângulo equilátero de lado 3. Exteriormente ao triângulo, constroem-se três quadrados, sempre a partir de um lado do triângulo ABC, ou seja, no quadrado Q1( AB é um lado; no Q2, BC é um lado; e no Q31 AC é um lado. Com centro no baricentro “G” do triângulo ABC, traça-se um círculo de raio 3. A medida da área da parte do círculo que não pertence a nenhum dos quadrados Q1, Q2 e Q31 e nem ao triângulo ABC é igual a?

Answer 1

A medida da área da parte do círculo que não pertence a nenhum dos quadrados Q1, Q2 e Q31 e nem ao triângulo ABC é igual a 9π/2 - 9√3/2.

Veja que as três semirretas que partem do baricentro passando pelos vértices e cornado a circunferência, dividem-a em três partes iguais. Por esse fator, os ângulos centrais valem 360°/3 = 120°  (observe anexo no final da página)

Note ainda que o triângulo GDE é equilátero, pois GD=GE=3 e DE=AC=3, logo, GD=GE=DE=3.

Além disso, os Ângulo DGA e EGC são iguais a (120° - 60°)/2 = 30°.

Preste bem atenção que a área do setor circular relacionado ao triângulo DGA, pode ser decomposto em função de "s/2" e do triângulo DGA, logo;

30°/360.π.3² = s/2 + SΔDGA =

3π/4 = s/2 + AG . DG . Sen(30°)/2

Veja que AG vale 2/3 da altura do triângulo equilátero ABC, isto é:

AG = 2/3.3√3/2 = √3

Portanto;  

3π/3 = s/2 + AG . DG . Sen(30°)/2 =  

3π/4 = s/2 + √3 . 3 . 1/2 /2 =  

3π/4 = s/2 + 3√3/4 =  

3π/4 - 3√3/4 = s/2 =

3π/2 - 3√3/2 = S.

Logo, podemos observar que a medida da área da parte do círculo que não pertence a nenhum dos quadrados Q1,Q2,Q3, nem ao triângulo ABC é igual a:

3.S = 9π/2 - 9√3/2

Espero ter ajudado nos estudos, bom dia :)