Question

Seja ABC um triângulo equilátero de lado 10 cm e M o ponto médio de AB. Seja D o ponto sobre a reta BC, com C entre B e D, de modo que o segmento de reta CD meça 6 cm. Seja E o ponto de interseção das retas AC e DM. A medida do segmento de reta AE, em cm, é igual a:

(Dica: Trace a reta paralela à reta AB passando por C).

Answer 1

Considere que o segmento AE = x. Então, CE = 10 - x. Além disso, como o M é ponto médio do segmento AB, então AM = BM = 5 cm.

Sabemos que os ângulos internos de um triângulo equilátero são iguais a 60°. Ao traçarmos uma reta paralela ao segmento AB, a mesma forma 60° com a reta BD.

Perceba que os triângulos BDM e CDF são semelhantes.

Então, podemos dizer que:

$\frac{5}{16}=\frac{CF}{6}$

$CF=\frac{15}{8}$ cm.

Os triângulos AEM e ECF também são semelhantes.

Então,

$\frac{x}{5}=\frac{10-x}{\frac{15}{8}}$

$\frac{x}{5}=\frac{80-8x}{15}$

3x = 80 - 8x

11x = 80

$x=\frac{80}{11}$

Portanto, o segmento AE mede, aproximadamente, 7,3 cm.