Question

Seja ABC triangulo retângulo de hipotenusa AC = 2 e ângulo A^ = x, determine sua area
em função de x. Qual e sua área máxima? Qual o valor de x para o qual tal área e máxima?

Answer 1

Veja como ficaria o triângulo na imagem anexa. 

Como a área do triângulo será base x altura, devemos encontrar as medidas da base AB = y e da altura BC = z. 

sen(x) = z/2
z = 2sen(x)

cos(x) = y/2
y = 2cos(x)

A área será:

A = (2cos(x).2sen(x))/2
A = 2cos(x)sen(x)

(também poderíamos usar o método A = (1/2). a.b.senx)

Para encontrar a área máxima, podemos utilizar a teoria dos máximos e mínimos, derivando a área A em função de x e igualando essa derivada a zero

A' = 2.(-sen(x)).sen(x) + 2cos(x).cos(x)
A' = -2sen²(x) + 2cos²(x)
A' = 2cos²(x) - 2sen²(x)

A' = 0

2cos²(x) - 2sen²(x) = 0
2cos²(x) = 2sen²(x)
cos²(x) = sen²(x)
cos(x) = sen(x)

Para facilitar, vamos dividir tudo por cos(x)

cos(x)/cos(x) = sen(x)/cos(x)
1 = tg(x)
tg(x) = 1

Temos que encontrar o ângulo x cuja tangente vale 1. 

Isso acontece quando x = 45°
Também acontece quando x = 225°

Vamos testar

A = 2cos(x)sen(x)
A = 2cos(45)sen(45)
A = 2.(√2 /2) . (√2 /2)
A = 2 . 2/4
A = 4/4
A = 1


A = 2cos(x)sen(x)
A = 2cos(225)sen(225)
A = 2.(-√2 /2) . (-√2 /2)
A = 2 . 2/4
A = 4/4
A = 1

Mas, como se trata de um triângulo retângulo, não pode haver um ângulo de 225°

Assim,  o ângulo máximo x = 45° e a área máxima será A = 1