Question

Seja AB um dos catetos de um triângulo retângulo e isósceles ABC, retângulo em A, com A(1;1) e B(5;1). Quais as coordenadas cartesianas do vértice C , sabendo que este vértice pertence ao primeiro quadrante?

Answer 1

Seja C= (x,y) o vértice procurado.

Como o triângulo ΔABC é isósceles e retângulo em A, então a distância de A a B é igual a distância de A a C.

Calculando a distância de A a B:

$d(A,B) = \sqrt{(5-1)^2+(1-1)^2}$

d(A,B) = 4

Ou seja, d(A,C) = 4.

Calculando os vetores AB e AC:

AB = (4,0)

AC = (x- 1, y - 1)

Os vetores AB e AC são perpendiculares, logo:

<AB,AC> = 0

(4,0).(x - 1, y - 1) = 0

4x - 4 = 0

4x = 4

x = 1

Assim, C = (1,y).

Calculando a distância entre A e C:

$d(A,C) = \sqrt{(1-1)^2+(y-1)^2}$

d(A,C) = y - 1

Como d(A,C) = 4, então:

y - 1 = 4

y = 5

Portanto, o vértice C é (1,5).