Question

Seja AB o diametro de uma circunferência de raio r,e seja C um ponto de mesma,distinto de A e B,conforme a figura a seguir.
a)sendo o ângulo ABC=a,determine a área do triângulo ABC,em função de a e r.
b) Esta área é máxima para qual valor de a?​

Answer 1

a) A = r²·sen2a

b) a = 45°

Se AB representa o diâmetro do círculo, temos um triângulo inscrito em um semicírculo e podemos afirmar que o triângulo ABC é reto em C, já que todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo.

Assim temos BC e AC são catetos e AB (2r) é a hipotenusa.

• BC = cos·a·2r
• AC = sen·a·2r

A área de um triângulo -

A = B x h/2

A = cos·a·2r · sen·a·2r/2

A = r²·2·cos·a·sen·a

A = r²·sen2a

Para que a área seja máxima, o valor de sen2a deverá ser máximo -

sen2a = 1

2a = 90°

a = 45°

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