Question

Seja (a1, a2,...an,...) uma progressão aritmética de razão r e considere a nova sequencia por bn = 7an. (an é potencia de 7).

a) Escreva a fórmula de termo geral de an em função do primeiro termo a1 e da razão r.

b) Reescreva bn usando a resposta do item anterior.

c) Classifique a sequência bn como uma PA ou uma PG.

d) Determine o termo geral da sequencia bn, explicitando o primeiro termo e a razão.

Answer 1

• O que é uma progressão aritmética?

É uma sequência de números em que todo número, a partir do primeiro, é a soma do número anterior com uma razão constante.

a) O termo geral de uma progressão aritmética qualquer $(a_1,a_2,...,a_n,...)$  é dado por:

$a_n = a_1 + (n-1)r$

b) A progressão $b_n$ é formada por 7 elevado ao expoente da posição n da progressão anterior, então ela é desta forma:

$b_n = 7^{a_1}, 7^{a_2} ... 7^{a_n}\\\\b_n = 7^{a_1}, 7^{a_1+r}, 7^{a_1 + 2r} ... 7^{a_1 + (n-1)r}$

c) A sequência $b_n$ é uma progressão geométrica, já que a cada termo, multiplicamos o termo anterior por 7 elevado a algum expoente.

d) Observe que:

$b_1 = 7^{a_1}\\\\b_2 = 7^{a_1+r} = 7^{a_1} \cdot 7^r \\\\b_3 = 7^{a_1+2r} = 7^{a_1} \cdot 7^r\cdot 7^r$

Cada termo da sequência $b_n$ é igual ao termo anterior multiplicado por $7^r$, logo a razão desta progressão geométrica é

Então o termo geral desta PG é:

$b_n = 7^{a_1}.7^{r-1}$

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