Question

Seja (a1,a2,...,an,...) uma progressão aritmética de razão r e considere a nova sequencia dada por bn=7^an. Atenção, esse problema é quase todo literal.

a) Escreva a fórmula do termo geral de an em função do primeiro termo a1 e da razão r.
b) Reescreva bn usando a resposta do item anterior.
c) Classifique a sequência bn como uma PA ou uma PG.
d) Determine o termo geral da sequência bn, explicitando o primeiro termo e a razão

Answer 1

• O que é uma progressão aritmética?

É uma sequência de números em que todo número, a partir do primeiro, é a soma do número anterior com uma razão constante.

a) O termo geral de uma progressão aritmética qualquer  $(a_1,a_2,...,a_n,...)$ é dado por:

$a_n = a_1 + (n-1)r$

b) A progressão $b_n$ é formada por 7 elevado ao expoente da posição n da progressão anterior, então ela é desta forma:

$b_n = 7^{a_1}, 7^{a_2} ... 7^{a_n}\\\\b_n = 7^{a_1}, 7^{a_1+r}, 7^{a_1 + 2r} ... 7^{a_1 + (n-1)r}$

c) A sequência $b_n$ é uma progressão geométrica, já que a cada termo, multiplicamos o termo anterior por 7 elevado a algum expoente.

d) Observe que:

$b_1 = 7^{a_1}\\\\b_2 = 7^{a_1+r} = 7^{a_1} \cdot 7^r \\\\b_3 = 7^{a_1+2r} = 7^{a_1} \cdot 7^r\cdot 7^r$

Cada termo da sequência $b_n$ é igual ao termo anterior multiplicado por $7^r$, logo a razão desta progressão geométrica é $7^r$.

Então o termo geral desta PG é:

$b_n = 7^{a_1}.7^{r-1}$

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Answer 2

O que é P.A?

P.A é a sigla para progressão aritmética. Nesse tipo de sequência, a razão é somada a cada novo termo.

O que é P.G?

P.G é a sigla para progressão geométrica. Nesta sequência ,a razão é multiplicada a cada novo termo.

Quais são as respostas?

a) $An = A1 + (n-1).r$

b) $bn = 7^{[a1 + (n-1).r]}$

c) Vamos expandir bn.

$b1 = 7^{a1}\\\\b2 = 7^{(a1 + r)} = 7^{a1} \cdot 7^r\\\\b3 = 7^{(a1 + r + r)} = 7^{a1} \cdot 7^r \cdot 7^r\\\\\vdots\\\\bn = 7^{[a1 + (n-1).r]} = 7^{a1} \cdot \underbrace{7^r \cdots 7^r}_{n-1}$

Note que a cada novo termo, multiplica-se por uma constante: 7^r. Isso significa que bn é uma P.G.

d) $bn = 7^{a1} \cdot (7^r)^{n-1}$

O primeiro termo é 7^a1 e a razão e 7^r.

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