Question

Seja A uma matriz quadrada, de ordem n, que satisfaz a equação matricial A³ = 3A. sabendo-se que o determinante de A é um número inteiro positivo, o valor de n, necessariamente, é:

a) Par b) Múltiplo de 3 c) Ímpar d) Primo e) Múltiplo de 5

Resposta A

Answer 1

$\mathbf{A}$ é uma matriz quadrada de ordem $n,$ tal que

$\mathbf{A}^{3}=3\mathbf{A}\\ \\ \mathbf{A}^{3}-3\mathbf{A}=\mathbf{0}_{n}$

onde $\mathbf{0}_{n}$ representa a matriz nula de ordem $n.$


Fatorando o lado esquerdo da equação matricial, temos

$\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{A}^{2}-3\mathbf{I}_{n} \right )=\mathbf{0}_{n}$

onde $\mathbf{I}_{n}$ é a matriz identidade de ordem $n.$


Como $\det\mathbf{A}>0,$ a matriz $\mathbf{A}$ possui inversa. Multiplicando à esquerda os dois lados da equação pela inversa de $\mathbf{A},$ temos

$\mathbf{A}^{-1}\cdot \mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{A}^{2}-3\mathbf{I}_{n} \right )=\mathbf{A}^{-1}\cdot \mathbf{0}_{n}\\ \\ (\mathbf{A}^{-1}\cdot \mathbf{A})\cdot\left(\mathbf{A}^{2}-3\mathbf{I}_{n} \right )=\mathbf{0}_{n}\\ \\ \mathbf{I}_{n}\cdot\left(\mathbf{A}^{2}-3\mathbf{I}_{n} \right )=\mathbf{0}_{n}\\ \\ \mathbf{A}^{2}-3\mathbf{I}_{n}=\mathbf{0}_{n}\\ \\ \mathbf{A}^{2}=3\mathbf{I}_{n}$


Como $\mathbf{I}_{n}=\mathbf{I}_{n}^{2},$ temos

$\mathbf{A}^{2}=3\mathbf{I}_{n}^{2}\\ \\ \mathbf{A}=\sqrt{3}\,\mathbf{I}_{n}\;\;\text{ ou }\;\;\mathbf{A}=-\sqrt{3}\,\mathbf{I}_{n}$


Veja que não há nenhuma restrição para a dimensão (ordem) da matriz $\mathbf{A}$ na igualdade acima.