Question

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Prove que A é não singular se
e somente se as colunas ( ou linhas) de A são linearmente independentes.

Answer 1

podemos provar pelo determinante.

Para isso usamos o teoerama que diz

Uma matriz singular é uma matriz que tem determinante igual a zero.

Portanto, seja uma matriz qualquer

$\begin{pmatrix} a&b &\cdots  \\  c&d &\cdots \\  \vdots  &\vdots   & \ddots  \end{pmatrix}$

Suponha que esta matriz tenha 1 combinação linear.

isto significa que a linha $k$ é igual à soma das linhas $i$ e $j$ (ou a linha $[/tex] é multipla da linha [tex]i$)

Podemos aplicar a operação de somar o multiplo de uma linha na outra e esta operação não afeta o determinante.

Assim, somamos $-i$ na linha $k$ e depois somamos $j$ na linha $k$

Desta forma teremos a linha $k$ igual a uma linha de zeros.

Como esta linha é toda zero, o determinante desta matriz também será zero.

Logo, esta matriz é singular.