Question

Seja A uma matriz quadrada de ordem n, então um vetor não nulo v pertencente ao RN e denominada autovetor de A se Av for múltiplo escalar de v, isto é Av =Yv, em que Y e um número real ( escalar ). o escalar Y é denominado autovalor de A, e denominamos v autovetor associado a Y. uma vez calculados os autovalores de matriz A, seus autovetores podem ser encontrados resolvendo o sistema de equação ( A- Yi)v= 0 para cada autovalores encontrado. considerando a matriz A a seguir. A=[1 3 -1 5]. sabendo que os autovalores associados a matriz A são Y = 2 e Y=5, identifique os autovalores de A.​

Answer 1

Analisando as equações de autovetor temos que este são:

Para Y=2, temos (3,1).

Para Y=5, temos (3,4).

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte matriz:

$A=\left[\begin{array}{cc}1&3\\-1&5\end{array}\right]$

E vamos supor um vetor qualquer da forma:

$v=\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$

Fazendo a multiplicando desta vetor pela matriz, e supondo que este é o autovetor que nos da o auto valor Y=2, então:

$A.v=2.v$

$\left[\begin{array}{cc}1&3\\-1&5\end{array}\right].\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]=2.\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$

Assim fazendo essas multiplicações, temos o sistema:

$a+3b=2a$

$-a+5b=2b$

Ajeitando para ficar melhor de ver:

$-a+3b=0$

$-a+3b=0$

Ou seja, este é um sistema com infinitas soluções do tipo:

$3b=a$

Então o nosso vetor é:

$v=\left[\begin{array}{c}3b\\b\end{array}\right]$

Colocando b em evidência:

$v=b.\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]$

Assim temos que o nosso auto vetor do autovalor de Y=2 é (3,1).

Agora vamos repetir o mesmo processo para o autovalor de Y=5:

$\left[\begin{array}{cc}1&3\\-1&5\end{array}\right].\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]=5.\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]$

Temos então o sistema:

$a+3b=5a$

$-a+5b=5b$

Resolvendo:

$b=\frac{4}{3}a$

$a=0$

Logo temos que este vetor é do tipo:

$v=\left[\begin{array}{c}a\\ \frac{4}{3}a\end{array}\right]$

Colocando a em evidência:

$v=a.\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{4}{3}\end{array}\right]$

Multiplicando este vetor por 3, uma vez que a é uma constante arbitrária:

$v=a.\left[\begin{array}{c}3\\4\end{array}\right]$

Assim temos que este autovetor para o autovalor de Y=5 é (3,4).