Question

Seja A uma matriz quadrada de ordem n, então um vetor não nulo v pertencente ao Rn é determinado autovetor de A se Av for múltiplo
escalar de V, isto é, (ANTON; RORRES, 2016)

é denominado

Av=Av

em que A é um número real (escalar). O escalar A é denominado autovalor de A, e denominamos
autovetor associado a A

Considerando os conhecimentos obtidos sobre transformações lineares e suas matrizes representativas, autovalores e autovetores,

considere o caso abaixo e julgue as afirmações feitas sobre ele:

O uso de matrizes vai além de simples tabelas, sendo ferramentas de grande auxílio em desenvolvimentos algébricos

sofisticados. Considere as duas matrizes abaixo como sendo matrizes representativas de duas transformações lineares.


Segue imagem questionário completo

Answer 1

O modo mais simples de determinar os valores próprios de uma matriz é através da equação secular.

Seja $\vec{v} \in \mathbb{R}^n\setminus\{\vec{0}\}$ um vetor próprio de uma matriz quadrada $A$ de dimensão $n \times n$ e $\lambda \in \mathbb{R}$ o respetivo valor próprio. Então temos:

$A\vec{v} = \lambda \vec{v}.$

Podemos reescrever a equação na forma:

$A\vec{v} - \lambda\vec{v} = \vec{0}.$

Introduzindo a matriz identidade $\textrm{Id}$, podemos ainda escrever na forma:

$A\vec{v} - \lambda\textrm{Id}\vec{v} = \vec{0} \iff (A - \lambda\textrm{Id})\vec{v} = \vec{0}.$

A equação tem soluções não triviais (ou seja, diferentes de $\vec{0}$) se a matriz $A - \lambda\textrm{Id}$ for singular, ou seja:

$\det(A - \lambda\textrm{Id}) = 0,$

o que corresponde à equação secular.

Vamos então calcular os valores próprios da matriz

$A = \begin{bmatrix}1 & 4 \\ 2 & 3\end{bmatrix},$

com base na equação secular acima. Temos então:

$A -\lambda\textrm{Id} = \begin{bmatrix}1 & 4 \\ 2 & 3\end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1-\lambda & 4 \\ 2 & 3-\lambda\end{bmatrix}.$

Portanto:

$\det(A -\lambda\textrm{Id}) = 0 \iff \det\begin{bmatrix}1-\lambda & 4 \\ 2 & 3-\lambda\end{bmatrix} = 0 \iff\\\\\iff (1-\lambda)(3-\lambda) - 4 \times 2 = 0 \iff 3 -4\lambda + \lambda^2 = 8 \iff\\\\\iff \lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0 \iff \lambda = \dfrac{4\pm\sqrt{4^2-4 \times 1 \times (-5)}}{2 \times 1} \iff\\\\ \iff \lambda = \dfrac{4\pm\sqrt{36}}{2} \iff \lambda = \dfrac{4 \pm 6}{2} \iff\\\\\iff \lambda = 5 \textrm{ ou } \lambda = -1.$

Temos então que a matriz $A$ valores próprios $-1$ e $5$.

Para a matriz

$B = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 2\end{bmatrix},$

temos então:

$B -\lambda\textrm{Id} = \begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 2\end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1-\lambda & 3 \\ 2 & 2-\lambda\end{bmatrix}.$

Portanto:

$\det(B -\lambda\textrm{Id}) = 0 \iff \det\begin{bmatrix}1-\lambda & 3 \\ 2 & 2-\lambda\end{bmatrix} = 0 \iff\\\\\iff (1-\lambda)(2-\lambda) - 3 \times 2 = 0 \iff 2 -3\lambda + \lambda^2 = 6 \iff\\\\\iff \lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0 \iff \lambda = \dfrac{3\pm\sqrt{3^2-4 \times 1 \times (-4)}}{2 \times 1} \iff\\\\ \iff \lambda = \dfrac{3\pm\sqrt{25}}{2} \iff \lambda = \dfrac{3 \pm 5}{2} \iff\\\\\iff \lambda = 4 \textrm{ ou } \lambda = -1.$

Temos então que a matriz $B$ valores próprios $-1$ e $4$.

Resposta: $\textrm{As afirma\c{c}\~{o}es corretas s\~{a}o  II), III), IV)}.$