Question

seja A uma matriz quadrada de ordem n, entao um vetor nao nulo V pertence ao Rn e denominado auto vetror de A se AV for multiplo escalar de V isto é AV = xv, em que x e um numero real (escalar). o escalar x e denominado autovalor de A, e denominamos v auto vetror associado a x, nesse contesto conciderando a matriz A determine os autovalores relacionados a referida matriz A= 4,5 2,1 1 os autovalores sao x1 = 6 e x2 = 2. 2 a matriz A nao possui autovalores associados. 3 a matriz A possui somente um autovalor associado tal que x1 = 6. 4 os autovalores sao x1 = 6 e x2 = -1. 5 os autovalores sao x1 = 6 e x2 = -2.

Answer 1

Para calcular os autovalores de uma matriz, vamos determinar o polinômio característico da matriz A:

p(x) = det(xI - A)

sendo I a matriz identidade.

Como $A=\left[\begin{array}{ccc}4&5\\2&1\end{array}\right]$, então, temos que:

$p(x)=x.\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}4&5\\2&1\end{array}\right]$

$p(x)=\left[\begin{array}{ccc}x&0\\0&x\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}4&5\\2&1\end{array}\right]$

$p(x)=\left[\begin{array}{ccc}x-4&-5\\-2&x-1\end{array}\right]$

Definida a matriz, vamos calcular o determinante da mesma:

p(x) = (x - 4)(x - 1) - 10

p(x) = x² - 5x - 6

Como temos um polinômio de grau 2, vamos utilizar a fórmula de Bháskara para calcular os autovalores:

Δ = (-5)² - 4.1.(-6)

Δ = 25 + 24

Δ = 49

$x=\frac{5+-\sqrt{49}}{2}$

$x=\frac{5+-7}{2}$

$x'=\frac{5+7}{2} = 6$

$x''=\frac{5-7}{2}=-1$

Assim, podemos escrever a função p da seguinte forma:

p(x) = (x + 1)(x - 6).

Portanto, os autovalores da matriz A são x₁ = -1 e x₂ = 6.