Question

Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 cujos elementos são dados por aij 

Answer 1

a) $A = {a_{ij}}_{3x3}$
   
                 $a_{ij}=0$, se i ≠ j  
                 $a_{ij} = i + j$, se i = j


$A=\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]$

Temos que i = j em $a_{11},a_{22},a_{33}$, portanto:
$a_{11} = i+j = 1 + 1 = 2$
$a_{22} = i+j = 2 + 2 = 4$
$a_{33} = i+j = 3+ 3 = 6$

Temos que i ≠ j em $a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{23}, a_{31},a_{32}$, portanto $a_{12} = a_{13} = a_{21} = a_{23} = a_{31} =a_{32} = 0$

substituindo os valores na matriz,

$A=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$





b)  Em uma matriz identidade (I), temos que:
               $a_{ij}= 1$, se i ≠ j  
               $a_{ij} = 0$, se i = j

$I=\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]$

Temos que i = j em $a_{11},a_{22},a_{33}$, portanto $a_{11}=a_{22} = a_{33} = 1$.

Temos que i ≠ j em $a_{12},a_{13},a_{21},a_{23},a_{31},a_{32}$, portanto $a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0$

substituindo os valores na matriz,

$I=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

Temos que $A=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$ e $I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$. Portanto,

$A + I_{3} =\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&5&0\\0&0&7\end{array}\right]$





c) Uma matriz 0 é uma matriz em que todos os elementos seus elementos são iguais a zero.


$0 = \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]$


Temos que $A=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$ e $0 = \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]$. Portanto,


$A + 0=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$





d) A matriz transposta ($X^{t}$) é encontrada transformando a 1ª linha da matriz X na 1ª coluna da matriz transposta, a 2ª linha da matriz X na 2ª coluna da matriz transposta e assim sucessivamente.

exemplo: $X=\left[\begin{array}{ccc}3&1&7\\9&4&0\\2&3&6\end{array}\right]$    $X^{t}=\left[\begin{array}{ccc}3&9&2\\1&4&3\\7&0&6\end{array}\right]$



Portanto, se $A=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$,  $A^{t}=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$ 





e) Tendo que $A=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$ e  $A^{t}=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$,


$A - A^{t} =\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right] -\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]$





f) Tendo que $A=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$ , $A^{t}=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$ e $I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$,



$2A + 3A^{t} - I_{3} = 2.\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right] + 3.\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] =$

 $\left[\begin{array}{ccc}4&0&0\\0&8&0\\0&0&12\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&12&0\\0&0&18\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] =$

$\left[\begin{array}{ccc}10&0&0\\0&20&0\\0&0&30\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}9&0&0\\0&19&0\\0&0&29\end{array}\right]$

Answer 2

Seguem abaixo cada uma das matrizes calculadas:

a)

$A=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$

b)

$A + I_{3} = \left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&5&0\\0&0&7\end{array}\right]$

c)

$A + O_{3} = \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$

d)

$A^{t} = \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$

e)

$A - A^{t} =\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]$

f)

$A + A^{t} - I_{3} =\left[\begin{array}{ccc}9&0&0\\0&19&0\\0&0&29\end{array}\right]$

Para chegar a essas respostas, devemos, antes de tudo entender o que é uma matriz e como são denominados os seus elementos.

O que é uma matriz?

• Uma matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas no formato i x j, onde i representa o número de linhas (horizontal) e j o número de colunas (vertical).
• O elemento $a_{11}$, por exemplo, será o primeiro elemento da matriz, localizado na linha 1 e na coluna 1.
• I se refere à matriz identidade, onde todos os elementos da diagonal principal (i = j) são iguais a 1 e todos os outros 0.

        $\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

• O se refere à matriz nula, onde todos seus elementos são iguais a zero.

        $\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]$

• A transposta de uma matriz A ($A^{t}$) é uma matriz que apresenta os mesmos elementos de A, só que colocados em uma posição diferente: as linhas e colunas são invertidas.

Com base nessas informações, temos que se a matriz A é 3x3, ela é uma matriz que tem 3 linhas e 3 colunas e é dada por:

$\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]$

Logo:

a) Como temos que $a_{ij} = 0$ se $i\neq j$ e $a_{ij} = i+j$ se $i = j$, temos que a matriz A é dada por:

$A=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$

b) $A+I_{3}$ é dado por:

 $A + I_{3} =\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&5&0\\0&0&7\end{array}\right]$

c) $A+O_{3}$ é dado por:

 $A + O_{3} =\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$

OBS: A partir do resultado podemos assumir que qualquer matriz somada a uma matriz nula é igual a ela mesma.

d) $A^{t}$ é dada por:

$A^{t} = \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right]$

OBS: A partir do resultado podemos assumir que para qualquer matriz quadrada com apenas os elementos da diagonal principal não nulos, sua transposta é igua a ela mesma.

e) A partir da conclusão anterior temos que para a matriz em questão:

$A - A^{t} = O_{3}=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right]$

f) Por fim:

$A + A^{t} - I_{3} =2\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right] + 3\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&4&0\\0&0&6\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

$A + A^{t} - I_{3} =\left[\begin{array}{ccc}4&0&0\\0&8&0\\0&0&12\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&12&0\\0&0&18\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

$A + A^{t} - I_{3} =\left[\begin{array}{ccc}10&0&0\\0&20&0\\0&0&30\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

$A + A^{t} - I_{3} =\left[\begin{array}{ccc}9&0&0\\0&19&0\\0&0&29\end{array}\right]$

Aprenda mais sobre matrizes aqui: brainly.com.br/tarefa/45804489